شرح : مشتقات دالة في متغيرين

[uaemath]

السلام عليكم ،

لاشتقاق كمية تحوي ضرب متغيرين x , y :

لإيجاد المشتقة fx : نشتق الجزء الذي يحتوي على x و ندع الجزء الذي

يحتوي على y كما هو

مثال1 : f(x,y) = x²y³

الجزء الذي يحتوي على x :

x² مشتقته 2x

إذا :

fx = 2xy³

لإيجاد المشتقة fy : نشتق الجزء الذي يحتوي على y و ندع الجزء الذي

يحتوي على x كما هو

إذا :

fy = x²3y²

= fy = 3x²y²

أكرر هذا لاشتقاق كمية تحتوي على ضرب كمية في x و كمية في y

و هذا له نفس معنى أن نعتبر y عددا ثابتا عند الإشتقاق بالنسبة لـ x

و x عددا ثابتا عند الإشتقاق بالنسبة لـ y

مثال2 :

f(x,y) = x² + y²

fx = 2x + 0 = 2x

fy = 0 + 2y = 2y

للحديث بقية

[رفيف]

استاذي يعطيك العافيه
ولكن سوف اسبق الاحداث واسئلك كيف نشتق الxبالنسبه لyوالعكس

لم افهم هذه النقطه

[uaemath]

هناك ستة مشتقات اثنتان من الدرجة الاولى :

fx , fy ,

و أربعة من الدرجة الثانية :

fxy , fyx , fxx ,fyy

بالنسبة لـ fxy : نأخذ fx و نشتقها بالنسبة لـ y

بالنسبة لـ fyx : نأخذ fy و نشتقها بالنسبة لـ x

مثال3 :

f(x,y) = x³y²+y⁴

fx = 3x²y² + 0 = 3x²y²

fxy = 3x²2y= 6x²y

fy = 2x³y + 4y³

fyx = 6x²y + 0 = 6x²y

مثال 4 :

f(x,y) = 30xy -x³ -y³

fx = 30y - 3x² - 0 = 30y -3x²

fxy = 30 - 0 = 30

fy = 30x - 0 -3y² = 30x -3y²

fyx = 30 - 0 = 30

مثال 5 :

f(x,y) = x² +5y² -24xy + 41y²

fx = 2x + 0 -24y + 0 = 2x -24y

fxy = 0 - 24 = -24

fy = 0 + 10y -24x + 82y = 92y - 24x

fyx = 0 - 24 = -24

للحديث بقية

[uaemath]

النسبة للمشتقتين الأخيرتين من الدرجة الثانية :

fxx , fyy

بالنسبة لـ fxx : نأخذ fx و نشتقها بالنسبة لـ x مرة أخرى

بالنسبة لـ fyy : نأخذ fy و نشتقها بالنسبة لـy مرة أخرى

مثال 6

f(x,y) = e^x siny

fx = e^x siny ، باشتقاق الجزء المحتوي على x و ترك الجزء

المحتوي على y كما هو

fxy = e^x cosy ، وذلك باشتقاق fx بالنسبة لـ y

fxx = e^x siny ، و ذلك باشتقاق fx بالنسبة لـ x مرة أخرى

fy = e^x cosy ، باشتقاق الجزء المحتوي على y و ترك الجزء

المحتوي على x كما هو

fyx =e^x cosy ، وذلك باشتقاق fy بالنسبة لـx

fyy = -e^xsiny ، و ذلك باشتقاق fy بالنسبة لـy مرة أخرى


للحديث بقية

[uaemath]

هذه الروابط تحوي بعض من محاضراتي :

http://www.mathyards.com/lse/mb/MBHandout15.pdf

مسائل محلولة :

http://www.mathyards.com/lse/mb/TutoringSheet15A.pdf

http://www.mathyards.com/lse/mb/Assignment5A.pdf

[LIBYAN73]

بارك الله فيك