3 متفاوتات للبحث

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته.
أنقل لكم أصدقائي هده المتفاوتات لنبحث فيها جميعا، و آمل ان تكون في المستوى.
1 ) بين أنه لكل x و y و z من R لدينا:http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_85500489.gif

2 ) بين أنه لكل x و y و z من +R لدينا: http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_46074219.gif
بحيث: x+y+z=1
3 ) A و B و C قياسات زوايا مثلث.
بين أن : http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_71782227.gif

وشكرا على الإهتمام.

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله.
حل المتفاوتة (3) على مدونتي في الرابط التالي:
http://aglocoteamgold.blogspot.com/
أو الصورة التالية:
http://bp0.blogger.com/_v9ZpSWGFRgM/SA-Cl_70PsI/AAAAAAAAABQ/-b_n5LOxfC4/s1600-h/01+kjhkjhkjh.gif
و هده المتفاوتة تسمى ب: متفتاوتة weinstein

[ياسين]

الحل جميل وواضح bravo

لقد بحتت في المتفاوتة التانية و ما زلت احاول البرهنة....

ارجو منك ان تتيح للاعضاء الفرصة للتفكير في المتفاوتتين

[ياسين]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

اهلا اخي محمد ، لدي متفاوتة اعم من التانية و هي من اولمبياد بلغاريا و ادا برهنا عنها ستوصلنا بسهولة الى المتفاوتة المطلوبة ، المتفاوتة كالتالي ، a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا بين ان :


x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \: \frac{(x+y+z)^3}{4}

لدينا حسب متفاوتة schur :

x^3+y^3+z^3+3abc \: \geq \: x^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)

و بديهي ان :
x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \:x^3+y^3+z^3+3xyz

و منه :

x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \: x^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)

3(x^3+y^3+z^3)+18xyz \: \geq \: 3( \: ^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)\: )

\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3)+24xyz \: \geq \: x^3+y^3+z^3+6xyz+ 3( \: ^2(y+z)\:+\:y^2(z+x)\:+\: z^2(x+y)\: )

الطرف الايمن يساوي المتطابقة المعروفة (a+b+c)^3

\Rightarrow 4(x^3+y^3+z^3+6xyz) \: \geq \: (x+y+z)^3

ومنه نجد المتفاوتة المطلوبة :


x^3+y^3+z^3+6xyz \: \geq \: \frac{(x+y+z)^3}{4}

في حالة متفاوتتك نعوض بالشرط فنجد المطلوب.