مسألة في الأفق

[prime]

أثبت أن : إذا كان ب , جـ عددين حقيقيين موجبين بحيث :
ب+ جـ = 1 فإن ( ب + 1/ب )^2 + (جـ + 1/جـ )^2 > 12.5
( أو يساوي )

[ياسين]

مسالة بسيطة سبق و عرض مثلها

للبرهنة نحتاج متفاوتة اخرى : x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}

للبرهنة عليها يكفي استخدام متفاوتة الوسط التوافقي و الحسابي
sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \geq \frac{x+y}{2}

بالتعويض نجد (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}{2}^2

\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+\frac{a+b}{ab})}{2}^2

\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+\frac{1}{ab})}{2}^2

و نعلم ان \frac{(a+b)^2}{ab}\geq 4

\Rightarrow\frac{1}{ab}\geq 4

\Rightarrow 1+ \frac{1}{ab}\geq 5

\Rightarrow (1+ \frac{1}{ab})^2\geq 25

\Rightarrow \frac{(1+ \frac{1}{ab})^2}{2}\geq\frac{25}{2}

\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+ \frac{1}{ab})^2}{2}\geq\frac{25}{2}

\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq\frac{25}{2}

وهو المطلوب

[mathson]

يا سلام على الحل المثالي
تستحق لقب أستاذ عن جدارة
بارك الله فيك

[prime]

أشكرك اخي ياسين على الحل وانتظر حلول بطرق اخرى
( المتباينه الحسابية الهندسيه )