طلب : مجموع أطوال أضلاع مثلث = 1 أثبت أن :

[warar]

a و b وc اطوال اضلاع مثلث حيث
a+b+c=1
بين ان
a²+b²+c²+4abc≥1/2

[warar]

لقد وقع هنلك خطا في المعطيات يا اخواني

[warar]

a و b وc اطوال اضلاع مثلث بحيث
a+b+c=1
بين ان
a²+b²+c²+4abc≤1/2

[ياسين]

من موضوع الاخ امام
مثلث محيطه =1
http://i44.servimg.com/u/f44/11/94/14/08/kjkk10.gif

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل آخر:
نحن نعلم أنه لكل مثلث أطوال أضلاعه a,b,c
فأنه يكون :
a + b \succ c

b + c \succ a

a + c \succ b

بما أن a + b + c = 1
فأنه 0 \prec a,b,c \prec 0.5
وهذا حتى لا يتخالف مع ما ذكر للتو.
لنحسب مجال : ab + bc + ac

ab + bc + ac = a(b + c) + bc

ونحن نعلم أن : b + c \succ a

إذا : a(b + c) \succ a^2

ومنه : a(b + c) + bc \succ a^2

وبما أن : 0.25 \succ a^2

إذا : a(b + c) + bc \ge 0.25
لماذا ؟ استنتج بنفسك .
أي أن : ab + bc + ac \ge 0.25

ومنه : 2(ab + bc + ac) \ge 0.5

من المعطيات :
a + b + c = 1 \Rightarrow (a + b + c)^2 = 1 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1
ومنه :
a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2(ab + bc + ac)

من البرهان السابق استنتاج : 1 - 2(ab + bc + ac) \le 0.5

وبما أن : a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2(ab + bc + ac)

إذا : a^2 + b^2 + c^2 \le 0.5

[ياسين]

نسيت ان المطلوب هو a^2+b^2+c^2+4abc \le \frac{1}{2}

و ليس \blue a^2+b^2+c^2 \le \frac{1}{2}

[mathson]

لم أنتبه
سامحني أستاذي

[warar]

شكرا يا ياسين على هدا الحل