متفاوتة من أولمبياد البلطيق.

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته.
لتكن x و y و z أعداد حقيقية موجبة قطعا ، تحقق: xyz=1 .
بين أن:

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_59750977.gif

[ياسين]

بماان xyz =1 فانه يمكن ان نفترض انه توجد اعداد حقيقية موجبة a و b و c بحيث x=\frac{a}{b}\:, \: y=\frac{b}{c}\:,\:z=\frac{c}{a} و منه المتفاوتة تصبح :

(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}) \geq 2(\:1+\: \sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}}\:+\: \sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\:+\: \sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}\: )

(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2abc(\:1+\: \sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}}\:+\: \sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\:+\: \sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}\: )

ننشر و نبسط فنجد :

a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\geq 2abc(\: \sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}}\:+\: \sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\:+\:\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}\: )

\frac{b+c}{a}\: +\:\frac{c+a}{b}\:+\:\frac{a+b}{c}\geq 2(\: \sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}}\:+\:\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\:+\:\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}\: )

\frac{b+c}{a}\: +\:\frac{c+a}{b}\:+\:\frac{a+b}{c}\geq 2(\: \frac{b}{\sqrt[3]{abc}}\:+\:\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}\:+\:\frac{c}{\sqrt[3]{abc}}\: )

\frac{b+c}{a}\: +\:\frac{c+a}{b}\:+\:\frac{a+b}{c}\:\geq \: \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}

اي انه يجب اتبات ان :

\frac{a}{b}\: +\:\frac{b}{c}\:+\:\frac{c}{a}\:\geq \: \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}


\frac{b}{a}\: +\:\frac{c}{b}\:+\:\frac{a}{c}\:\geq \: \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}

و هما متفاوتان صحيحتان و محققتان لجميع الاعداد الحقيقية الموجبة ..و لمن يود المشاركة يمكنه البرهنة على المتفاوتتين بسهولة.