م. من أ.البلطيق (02)

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته.
بين أنه لكل a و b و c أعداد حقيقية موجبة قطعا, لدينا:
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_34055176.gif

[ياسين]

لكي نكون في الصورة فقد بينت ان

\huge{\frac{2a}{a^2+bc}+\frac{2b}{b^2+ac}+\frac{2c }{c^2+ab}\le\frac{1}{sqrt{ ab}}+\frac{1}{sqrt{ bc}}+\frac{1}{sqrt {ac}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\fra c{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}}

[ياسين]

لدينا \huge{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\geq 2sqrt{\frac{ab}{abc^2}}\\\Rightarrow\frac{a}{bc}+\ frac{b}{ac}\geq \frac{2}{c}}

و بالمتل نجد ان \huge{\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}}
و \huge{\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\geq \frac{2}{b}}

بجمع المتفاوتات نجد ان \huge{2(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\huge{\frac{c}{a b})\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}

ادن \huge{\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\huge{\frac{c}{ab} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}


و بنفس الطريقة و باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي الهندسي نتوصل الى ان

\huge{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\huge{\frac{1}{c}\ge q \frac{1}{sqrt{ab}}+\frac{1}{sqrt{bc}}+\frac{1}{sqr t{ca}}}

في الاخير
لدينا حسب الوسك الحسابي -الهندسي a^2+bc\geq 2a sqrt{bc}

\huge{\Rightarrow \frac{a^2+bc}{2a}\geq sqrt{bc}}

\huge{\Rightarrow \frac{2a}{a^2+bc}\le \frac{1}{sqrt{bc}}}

الاخرى بالمتل \huge{\Rightarrow \frac{2b}{b^2+ac}\le \frac{1}{sqrt{ac}}}

\huge{\Rightarrow \frac{2c}{c^2+ab}\le \frac{1}{sqrt{ab}}}

بجمع المتفاوتات كرف بطرف نجد

\huge{\Rightarrow \frac{2a}{a^2+bc}+\frac{2b}{b^2+ac}+\frac{2c}{c^2+ ab}\le \frac{1}{sqrt{ab}}+\frac{1}{sqrt{bc}}+\frac{1}{sqr t{ac}}}

و من المتفاوتات السابقة نستنتج المتفاوتة البلطيقية الجميلة


\huge{ \frac{2a}{a^2+bc}+\frac{2b}{b^2+ac}+\frac{2c}{c^2+ ab}\le \frac{a}{{bc}}+\frac{b}{{ac}}+\frac{c}{{ab}}}

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله.
حركات جميلة و حل أجمل.
شكرا لك أخ ياسين.

[ياسين]

بارك الله فيك اخي الكريم

[mmmyyy]

هذا التمرين ... سبق عرضه .. خلال الأسبوع الحالي .. !!!!

[ياسين]

ممكن رابط الموضوع