متفاوتة هندسية بسيطة

[ياسين]

\huge{ABC} مثلت قياس زاويته \huge{\hat{C}} يساوي °60 \huge({\hat{C}=60)}


اثبت ان \huge{\frac{AB}{BC}\:+\:\frac{AB}{CA}\:\:\geq\: \:2}

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله.
فعلا أخي متفاوتة بسيطة لكن فكرتها جميلة.
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_73144532.gif
و شكرا أخي على مجهوداتك.

[mathson]

أما أنا فاستخدمت طريقة حساب المشتقة الأولى ثم الثانية
منها نلاحظ أن الدالة متزايدة في الفترة (60و120) و متناقصة على الفترة (0و60)
ونجد أن قيمة المشتقة الأولى عند 60 هي 2
أي أن الدالة أكبر من أو يساوي 2 على الفترة (0 و 120) وهو المطلوب
ملاحظة : أنا أتحدث عن قياس الزاوية A

[mohamedegm]

لم أستوعب فكرتك أخي أرجو منك أن تتحفنا بها قريبا، حتى تعم الفائدة و ينجلي اللبس.

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
آسف على عدم التوضيح الجيد .
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_21953125.gif

[ياسين]

شكرا لك اخي محمد على الحل الجميل تقريبا نفس الدي عندي .

لم افهم حلك اخي mathsoon .

[mathson]

\huge \frac{{AB}}{{BC}} + \frac{{AB}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{\frac{{AB\sin A}}{{\sin 60}}}} + \frac{{AB}}{{\frac{{AB\sin B}}{{\sin 60}}}} = \frac{{AB\sin 60}}{{AB\sin A}} + \frac{{AB\sin 60}}{{AB\sin B}} = \frac{{\sin 60}}{{\sin A}} + \frac{{\sin 60}}{{\sin B}}


وحيث أن \huge B = 120 - A


\huge \frac{{\sin 60}}{{\sin A}} + \frac{{\sin 60}}{{\sin B}} = \frac{{\sin 60}}{{\sin A}} + \frac{{\sin 60}}{{\sin (120 - A)}}


لنعتبر أن \huge f(A) = \frac{{\sin 60}}{{\sin A}} + \frac{{\sin 60}}{{\sin (120 - A)}}

ما علينا سوى اشتقاق الدالة ثم إيجاد النقاط الحرجة لها على القترة \huge (0,120) = \left( {0,\frac{{2\pi }}{3}} \right)
حتى نحصل على أقل قيمة و هي 2 .

[mohamedegm]

صحيح أخي Mathson ، المشتقة من الرتبة 1 تنعدم في pi/3 باعتبار المجال الذي قدمته، و بذلك تكون القيمة الدنيا النسبية على هذا المجال هي 2 .