mohamedegm
11-05-2008, 06:31 PM
السلام عليكم و رحمة الله.
أقدم لكم هده الترسنة المثلثية.
في كل ما يلي: a ,b , c أضلاع مثلث، و A, B ,C الزوايا المقابلة لها.
و R , r مركزي الدائرة المحاطة و المحيطة بالمثلث.
و S مساحة المثلث.
بين ما يلي:
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_10727539.gif
ياسين
13-06-2008, 02:05 PM
السلام عليكم و رحمة الله وبركاته
اهلا اخي محمد ، هذا اثبات للمتفاوتة الثالتة :
p نصف محيط المثلت
r شعاع الدائرة المحاطة بالمثلت
R شعاع الدائرة المحيطة بالمثلت .
الشعاع هو نصف القطر.
نعلم ان :
\frac{abc}{4R} = pr
\Rightarrow \frac{abc}{2p} = 2Rr
\Rightarrow \frac{abc}{a+b+c} = 2Rr
\Rightarrow \frac{3}{2Rr} = \frac{3(a+b+c)}{abc}
المتفاوتة المراد اثباتها تصبح :
\frac{1}{a}\:+\:\frac{1}{b}\:+\:\frac{1}{c} \: \geq \: \sqrt {\frac{3(a+b+c)}{abc}}
ab+bc+ca \geq \sqrt{3abc(a+b+c)}
نرفع للمربع كلا من الطرفين فنجد :
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \:\geq \: bca^2+cab^2+abc^2
بقسمة الطرفين على abc نجد :
\frac{bc}{a}\:+\:\frac{ca}{b}\:+\:\frac{ab}{c} \: \geq \: a+b+c
نبرهن على المتفاوتة الاخيرة :
لدينا حسب AM-GM :
\frac{bc}{a}\:+\:\frac{ca}{b}\: \geq \: 2c
\frac{ca}{b}\:+\:\frac{ab}{c}\: \geq \: 2a
\frac{ab}{c}\:+\:\frac{bc}{a}\: \geq \: 2b
بجمع المتفاوتات طرفا بطرف و قسمة كلا الطرفين على 2 نجد ان :
\frac{bc}{a}\:+\:\frac{ca}{b}\:+\:\frac{ab}{c} \: \geq \: a+b+c
بما أن المفاوتة الاخيرة صحيحة فانه حسب مبدأ التكافؤات المتتالية ، المتفاوتة الاولى صحيحة و بالتالي :
\frac{1}{a}\:+\:\frac{1}{b}\:+\:\frac{1}{c} \: \geq \: \sqrt{\frac{3}{2Rr}}