طلب : إيجاد حلول هذه المعادلات التفاضلية

[عموري1]

بسم الله الرحمن الرحيم


قال رسول الله صلى الله عليه وسلم

(( لأن أمشي في حاجة أخي أحب إلي من أن أعتكف في المسجد شهرا ))


وطلبي منكم هو إيجاد حلول هذه المعادلات التفاضلية بسرعة



إليكم المعادلات في الصورة أسفل


http://www2.0zz0.com/2008/05/22/22/270998115.jpg

[SmiLER]

:w::w::w::w::w::w::w:

:)

The First


(x + 2 y) dx - (2x + y) dy = 0

(x + 2 y) dx = (2x + y) dy

\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2y}{2x + y}

\frac{dy}{dx} = \frac{1 + 2\frac{y}{x}}{2 + \frac{y}{x}}

let
z = \frac{y}{x}

then
\frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx}

\frac{dx}{x} = \frac{2 + z}{1 - z^2}dz

بعد إتمام فصل المتغيرات يمكن إجراء عملية التكامل بسهولة

:w::w::w::w::w::w::w:

:)



The Second


(x^2 y + y^3)dx - 2 x^3 dy = 0

(x^2 y + y^3)dx = 2 x^3 dy

\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y + y^3}{2 x^3}

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}( \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^3)


let
z = \frac{y}{x}

then
\frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx}


z + x \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2} z (1 + z^2 )

x \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2} z (z^2 - 1)

\frac{dx}{x} = \frac{2}{z(z^2 - 1)} dz

بعد إتمام فصل المتغيرات يمكن إجراء عملية التكامل بسهولة
ولا تنسى الثابت والتعويض بالقيم المعطاة لإيجاده

:w::w::w::w::w::w::w:

:)

The Third


xy ' = y + \sqrt {4x^2 + y^2}

y ' = \frac{y}{x} + \sqrt {4 + (\frac{y}{x})^2}


let
z = \frac{y}{x}

then
\frac{dy}{dx} = z + x \frac{dz}{dx}

x \frac{dz}{dx} + z = z + \sqrt{4 + z^2}

x \frac{dz}{dx} = \sqrt{4 + z^2}

\frac{dx}{x} = \frac{dz}{\sqrt{4 + z^2}}

بعد إتمام فصل المتغيرات يمكن إجراء عملية التكامل بسهولة
ولا تنسى الثابت والتعويض بالقيم المعطاة لإيجاده


:w::w::w::w::w::w::w:

:)

[عموري1]

أخوي الله يجزاك خير ويكتب أجرك

ياليت تخلصها لي كلها

لأنها مو لي ولا أعرف أكامل وأعوض

عن الثابت لانها لطالب

[SmiLER]

لطالب ...

فأخبره أن التكامل الأول والثاني يحتاج لفهم
integration by partial fractions

أما الثالث فيستخدم التعويض المباشر

\huge \int \frac{1}{\sqrt{z^2 + a^2} } dz =a sin^{-1}(\frac{z}{a}) + c

good luck

:)

[uniquesailor]

شكراً على اجتهادك ولكن هناك خطأ مطبعي وهذا التعديل:


http://img98.imageshack.us/img98/1488/11869723ol1.png

[عموري1]

ما رأيكم في هذه الحلول ؟



التمرين الأول

http://img267.imageshack.us/img267/1103/111vf0.gif


التمرين الثاني

http://img164.imageshack.us/img164/608/111tp7.gif


التمرين الثالث

http://img505.imageshack.us/img505/8379/111bp6.gif