متفاوتة من اختراعي .

[ياسين]

ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث \huge{abc=1}

اتبت ان
\huge{\frac {a}{\sqrt {b + c}} \:+\: \frac {b}{\sqrt {c + a}} \:+ \:\frac {c}{\sqrt {a + b}} \:\geq\: \frac {3}{\sqrt2}}


بكتابة اخرى اتبت ان
\huge{\sum_{cyc} \frac{a}{sqrt{b+c}} \:\geq\: \frac {3}{\sqrt2}}

[mathson]

بارك الله فيك أستاذي ياسين
إن ابتكار المتفاوتات عادة أصعب من حلها بكثير
لتكن هذه إن شاء الله أول مسألة أحلها باستخدام الطرق العادية ...
سأفكر بها

[mathson]

هل هذه تنفع ؟ لا زلت مبتدأ
http://rogercortesi.com/eqn/tempimagedir/eqn9012.png

[mathson]

أو ممكن متفاوتة هولدر؟

[ياسين]

احسنت اخي mathson
ادا تابعت خطوات المحاولة الاولى ستنجح اكمل لم يبقى الا القليل
بالنسبة لمتفاوتة holder ارجو ان تضع الخطوات

لمادا لا تكتب ب latex فهي كما ترى تضهر في المنتدى

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
لم أكمل الحل لأني وقعت في مأزق:
\huge \begin{array}{l} a,b,c \in ,abc = 1 \\ {\rm{prove that: }}\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\sqrt {b + c} }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }}} \\ {\rm{proof : let }}f(x) = \frac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow \\ \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{\sqrt {b + c} }} = \sum\limits_{cyc} {af(b + c) \ge (a + b + c)f\left( {\frac{{a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)}}{{a + b + c}}} \right)} } \\ (a + b + c)f\left( {\frac{{a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)}}{{a + b + c}}} \right) = \frac{{\sqrt {(a + b + c)^3 } }}{{\sqrt {2(ab + bc + ac)} }} \\ \end{array}
وحتى يتحقق المطلوب يجب أن يكون :
\huge \begin{array}{l} \sqrt {(a + b + c)^3 } \ge 3\sqrt {ab + bc + ac} \\ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2 b + ab^2 + a^2 c + ac^2 + b^2 c + bc^2 ) + 6abc \ge 9ab + 9bc + 9ac \\ a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + 3a^2 c + 3ac^2 + 3b^2 c + 3bc^2 + 6 - 9ab + 9bc + 9ac \ge 0 \\ \end{array}

[ياسين]

احسنت mathson
ساعطيك برهان الاخيرة
نعلم ان (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)

(a+b+c)^3\geq 3(a+b+c)(ab+bc+ca)

\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{ 3}{2}(a+b+c)

وبما ان abc=1 فان a+b+c\geq 3
و منه \frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{9}{2}

ادن \sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ca)}}\geq\frac{3}{\ sqrt2}

[mohamedegm]

السلام عليكم و رحمة الله.
جميلة هي هده المتفاوتة أخي ياسين، و ننتظر المزيد من إبداعاتك.
و حلك اخ Mathson رائع.

[mathson]

يا سلام عليك أستاذ ياسين
حلك خرافي ... ما أعتقد أنه سيخطر على بالي

[فارس السنة]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ..
هذه محاولتي لإثبات الجزئية الأخيرة ..
وصلنا إلى : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0375057001242929401.png

وذلك بتطبيق AM-GM على كل من a+b+c و ab+ac+bc بالإضافة إلى استخدام المعطى abc=1
هذه محاولتي و تحتمل الصواب و الخطأ :d
شكرا لكم و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ..

[mathson]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ..
هذه محاولتي لإثبات الجزئية الأخيرة ..
وصلنا إلى : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0375057001242929401.png

وذلك بتطبيق am-gm على كل من a+b+c و ab+ac+bc بالإضافة إلى استخدام المعطى abc=1
هذه محاولتي و تحتمل الصواب و الخطأ :d
شكرا لكم و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ..

وعليكم السلام و رحمة الله و بركاته، جميل ولكن هل يصغر المقدار إذا استخدمنا AM-GM للمقام ؟؟ :d

[فارس السنة]

معك حق فالمقام سيصغر و لذا لا يمكنني استخدام النظرية..
سأحاول مرة أخرى لاحقا..