بين أن.....

[jockereda]

a (1 و b عددان حقيقيان موجبان بحيث: a+b=1
بين أن: ab<1/4
2) a و b و c أعداد حقيقية موجبة بحيث: a+b+c=1
بين أن:
a-1)²+(b-1)²+(c-1)²>4/3)

[ياسين]

1_ لنبين ان ab\le \frac{1}{4}


نعلم ان (a+b)^2 \geq 4ab

ادن 1\geq 4ab

ادن ab\le \frac{1}{4}

2_ لنبين انه ادا كان a+b+c=1 فان (a-1)^2 +(b-1)^2+(c-1)^2 \geq \frac{4}{3}

نعلم ان a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}

ادن
(a-1)^2 +(b-1)^2+(c-1)^2 \geq \frac{(a+b+c-3)^2}{3}


و منه (a-1)^2 +(b-1)^2+(c-1)^2 \geq \frac{(-2)^2}{3}

و بالتالي نصل للمطلوب

(a-1)^2 +(b-1)^2+(c-1)^2 \geq \frac{4}{3}

ارجو نقل التمرين الى قسم المتفاوتات

[mathson]

حل جميل أستاذ ياسين
رأيت أن الموضوع يحتوي مشاركة فقلت في نفسي
بالتأكيد هذا الرد من ياسين مهووس المتفاوتات...
على العموم .. المسألة الأولى تحل أيضا باستخدام الإشتقاق
ملاحظة يوجد خطأ في السؤال الأول و الثاني المفروض (<=) بدل (<)

[jockereda]

\كرا صديقي ياسين على مرورك الجميل و حلك الرائع.أتمنى لك التوفيق في حياتك الدراسية.
بالنسبة لملاحظة الأستاد Mathson فهي صحيحة.

[محمودالجمال2007]

جزاكم الله خيرا حل جميل موفق