المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : ترسنة متفاوتات 2


mohamedegm
29-05-2008, 07:34 PM
السلام عليكم و رحمة الله.
هده أربع متفاوتات أولمبية.

1==) x و y عددين موجبين، بين أن:
http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_55029297.gif

2==) ليكن n عددا صحيحا طبيعيا بحيث n>=2 ، بين أن:

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_62797852.gif

3==) بين المتفاوتة التالية لكل x و y و z أعداد حقيقية موجبة:

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_16870117.gif

4==) لتكن a; b; c; d; e أعداد صحيحة تحقق: http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_58186035.gif
بين أن:

http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_59558106.gif

بحيث الرمز http://www.eclasshome.com/attach/upload3/wh_59406738.gif يعني المضاعف المشترك الأصغر.

و بالتوفيق للجميع.

ياسين
11-06-2008, 02:49 PM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
المتفاوتة الاولى :
بتربيع الطرفين نجد
x^2+y^2+2xy \geq \frac{x^2+y^2}{2}+xy+2 sqrt{\frac{xy(x^2+y^2)}{2}}

بعد التبسيط نجد:
\frac{x^2+y^2}{2}+xy \geq \sqrt{2xy(x^2+y^2)}

x^2+y^2+2xy \geq 2sqrt{2xy(x^2+y^2)}

لاتبات المتفاوتة الاخيرة نستعمل متفاوتة AM-GM :
\frac{x^2+y^2+2xy}{2} \geq \sqrt{2xy(x^2+y^2)}

و منه حسب مبدا التكافؤات المتتالية فان العبارة الاولى صحيحة .

ياسين
11-06-2008, 02:54 PM
المتفاوتة الثالثة :
بعد التبسيط و القليل من الحساب سنجد انه يجب اتبات ان :
x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)

و هي متفوتة صحيحة و حالة خاصة من متفاوتة schur :

a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b) \geq 0

باخد r=1 سنجد المتفاوتة المطلوبة