تمرين الرسائل

[mourad24000]

السلام عليكم، أريد مشاركة الاخوة في حل هذا التمرين:
أرسل شخص 3 رسائل إلى أصدقائه، كتب الرسائل و عنون الظروف و نسي أن يضع كل رسالة في الظرف المخصص لها، جاء إبنه وو ضع الرسائل عشوائيا، و أرسلها بالبريد. المطلوب: ما هو احتمال وصول رسالتين على الأقل لأصحابها ؟

[f-77]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

لا يمكن وضع رسالتين فقط في ظرفيهما الصحيحين الا وكانت الثالثة ايضا في ظرفها الصحيح

اي انه توضع رسالتين على الاقل في ظروفها المخصصة بطريقة واحدة فقط ( هي حالة الثلاثة في ظروفها الصحيحة ) من اصل ست طرق
فيكون الاحتمال المطلوب = 1\6

ملاحظة :
في هذا الحل افترضنا ان الابن وضع في كل ظرف رسالة واحدة
اما اذا كان المقصود بالمسألة انه يمكن للابن ان يضع اكثر من رسالة في ظرف واحد و يترك بعض الظروف فارغة فالناتج يختلف

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
شكرا أخي f-77 على المحاولة أوضح أن: كل ظرف يحوي رسالة واحدة فقط و أن الابن وضع الرسائل عشوائيا دون معرفته لعنوان الظرف و الرسالة المخصصة لها
فلاحظ معي أخي الكريم أنه يمكن أن تكون الرسائل الثلاث غير صحيحة (أي عنوان الظرف لا يتفق مع صاحب الرسالة)، و يمكن أن تكون هناك رسالتين غير صحيحتين ....الخ
للاجابة على هذا السؤال نفرض المتغير العشوائي X و الذي يعبر عن عدد الرسائل الصحيحة، القيم الممكنة لهذا المتغير هي: 0 ، 1 ، 2 ، 3 حيث:
X=0 {الرسائل الثلاث غير صحيحة} و الاحتمال المقابل هو: 8/27
X=1 {رسالة واحدة صحيحة و 2 غير صحيحتان} و الاحتمال المقابل هو: 12/27
X=2 {رسالتين صحيحتين و 1 غير صحيحة} و الاحتمال المقابل هو:
6/27
X=3 { الرسائل الثلاث صحيحة} و الاحتمال المقابل هو : 1/27
.................................................. ...يتبع.....................................

[mourad24000]

.....................................تابع......... .............................................
لاحظ أنه عند جمع الاحتمالات السابقة نحصل على 1
إذن احتمال وصول رسالتين صحيحتين على الأقل لأصحابها = احتمال وصول رسالتين صحيحتين+ احتمال وصول 3 رسائل صحيحة=6/27 +1/27 =7/27

[f-77]

اهلا بك اخي , يسرني هذا النقاش ..

1) ذكرت حضرتك ان الابن قد وضع في كل ظرف رسالة واحدة فقط
بالتالي يكون عدد طرق توزع الرسائل = ( تباديل 3 رسائل = 3 ! = 6 )
اما في حلك فقد اعتبرت ان عدد الطرق = 3^3 = 27 ؟؟!!
وهذا يصلح فقط عندما يمكن وضع اكثر من رسالة في ظرف واحد
( كما اشرت في ملاحظتي )

2) لا داعي لاستخدام المتغير العشوائي لانه لم يطلب حساب التوقع الرياضي

انتظر منك الرد

[mourad24000]

أهلا بك أخي f-77 سأوضح لك بعض النقاط:
1/ عند حساب الاحتمالات لم أستعمل عدد الطرق و انما هذه الاحتمالات عبارة جداء احتمالات حوادث مستقلة ( استعملت قانون ضرب الاحتمالات للحوادث المستقلة) أكثر توضيحا مثلا:
نعلم أن احتمال وصول رسالة صحيحة=1/3 و احتمال وصول رسالة غير صحيحة=2/3
احتمال الحادث X=0{الرسائل الثلاث غيرصحيحة} = احتمال{الرسالة الاولى غير صحيحة}*احتمال{الرسالة الثانية غير صحيحة}* احتمال{الرسالة الثالثة غير صحيحة}=2/3*2/3*2/3 =8/27
إذن القيمة 27 هي ناتج ضرب احتمالات و ليست عدد طرق
2/ يمكن ايجاد الاحتمالات السابقة باستعمال قانون ضرب الاحتمالات للحوادث المستقلة
أرجوا أن تكون الاجابة واضحة

[f-77]

اخي الكريم :

ان طريقة الحل اذا كانت صحيحة لا تؤثر على الناتج
ليس خلافنا حول الطريقة ( ممكن حل المسألة بطريقتين )
فيمكن استخدام طريقة جداء الاحتمالات
لكن هنا الاحتمال يكون احتمال شرطي
لأن الاحداث ليست مستقلة
لانه فرض في المسألة ان الابن قد وضع في كل ظرف رسالة واحدة فقط

وساستخدم مثالك ( اوجد احتمال ان تكون الرسائل الثلاث خاطئة )

عند وضع الرسالة الاولى في ظرف فان
احتمال ان توضع في ظرف خاطئ = 2\3
فيكون قد بقي رسالتين احداهما ضرفها فارغ ,والاخرى ظرفها يحوي الرسالة الاولى ,وظرف الرسالة الاولى فارغ , فيكون احتمال ان توضع الرسالة الثانية في ظرف خاطئ = 1\2
واخيرا الرسالة الثالثة حتما ستوضع بظرف ليس لها والاحتمال = 1 / 1

والان الاحتمال الامطلوب =
احتمال ان الاولى خاطئة × احتمال الثانية خاطئة بشرط الاولى خاطئة × الثالثة خاطئة بشرط الاثنتين السابقتين خاطئتين
= 2\3 × 1\2 × 1 = 1\3

يمكن تمثيل ذلك بالشكل التالي :
لنرمز للرسائل بـ : أ , ب , حـ
طرق توزيعها في الظروف هي : ( أ , ب , حـ ) , ( أ , حـ , ب ) ,
( ب , أ , حـ ) , ( ب , حـ , أ ) , ( حـ , أ , ب ) , ( حـ , ب , أ )

توجد طريقة وحيدة ( هي الاولى ): للتوزع الصحيح للثلاثة
وثلاث طرق : واحدة صحيحة والاثنتان الباقيتان خطأ
وطريقتان : توزع الثلاثة خاطئ , وهما ( ب , حـ , أ ) , ( حـ , أ , ب )
اي احتمال الثلاثة خطأ = 2\6 = 1\3

ملاحظة :
تكون الاحداث السابقة مستقلة فقط عندما لا يكون الابن ملزما بان يضع في كل ظرف رسالة واحدة (اي يمكن يضع اكثر من رسالة في نفس الظرف ويبقي بعضها فارغ )
وعندها يكون الحل كما ذكرت حضرتك

[mourad24000]

أخي الفاضل
اهم شيئ في حساب الاحتمال هو معرفة طبيعة الحوادث المراد حساب احتمالاتها
أظن أن الاحتمالات التي قمت بحسابها تتعلق بحادث وضع الرسائل في الظروف من طرف الابن هنا أشاطرك نفس التفكير و جوابك ممتاز جدا
بيد أن السؤال المطروح يتعلق بحساب احتمال وصول الرسائل الى أصحابها وليس احتمال وضع الرسائل في الظروف؟
بارك الله فيك أخي على مناقشاتك المتميزة

[f-77]

هل تقصد ان المسألة فيها خدعة لغويه ؟؟؟
ثم ما اللذي يحدد وصول الرسالة الى صاحبها سوى وضعها في الظرف المخصص ؟
نعم اخي انا حللت المسألة على اساس ان الرسالة ستصل حتما الى صاحبها اذا وضعت في ظرفها المخصص والعكس صحيح

واعذرني اذا كنت فهمتها خطا !!!

[mourad24000]

السلام عليكم
يمكن حل المسألة السابقة باستعمال قانون ثنائي الحد
حيث أحتمال وصول رسالة صحيحة هو: p=1/2 و احتمال وصول رسالة غير صحيحة هو: q=1/2
و عدد الرسائل هو: n=3

[fayçal81]

السلام عليكم

لا أشاطرك الرأي يا أخي مراد. حيث أن من شروط تطبيق قانون ثنائي الحدين أن تكون الحوادث مستقلة (p ثابت) وهذا غير متوفر هنا تماما كما قال الأخ f77 .
ثم لو فرضنا جدلا ذلك فان p≠1/2 لان أثناء وضع الرسالة احتمال الخطأ هو 2/3 وليس 1/2

الحل السليم هو حل الأخ f77
شكرا للجميع على هذا النقاش المثري

[mourad24000]

المعذرة اخوتي لقد وقع سهوا غير مقصود
احتمال وصول رسالة صحيحة هو p=1/3 و احتمال وصول رسالة غير صحيحة هو q=2/3 و عدد الرسائل هو n=3 ثم طبق قانون ثنائي الحد
اجابتي صحيحة يا اخي فيصل

[fayçal81]

السلام عليكم

قانون ثنائي الحد هو القانون الذي يحسب عدد مرات الحصول على نتيجة معينة (نجاح) عند تكرار تجربة بارنولي n مرة مستقلة بعضها عن بعض (التكرار مسموح) لكن هذا الأمر غير متوفر هنا. فالتجارب غير مستقلة لأن ذلك يكون فقط اذا فرضنا أن بامكان الابن أن يضع أكثر من رسالة في ظرف واحد.

شكرا أخي مراد وأرجو أن تكون قد اقتنعت