من اولمبياد اثينا اليونانية 1992 .

[ياسين]

بين انه لكل عدد صحيح طبيعي \huge{n} المتفاوتة التالية محققة :

\huge{(2n^2+3n+1)^n \:\geq \: 6^n (n!)^2}

[mathson]

بين انه لكل عدد صحيح طبيعي \huge{n} المتفاوتة التالية محققة :

\huge{(2n^2+3n+1)^n \:\geq \: 6^n (n!)^2}

كنت أظنها سهلة بالإستقراء الرياضي لكنها ليست كذلك :d.
نعلم أن:
1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \ge n\sqrt[n]{(n!)^2}

ولكن الطرف الأيسر يكتب بدلالة n:

\frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} \ge n\sqrt[n]{(n!)^2}

ببعض العمليات الجبرية نجد:
(2n^2+3n+1)^n \ge 6^n (n!)^2

وهو المطلوب.

[ياسين]

السلام عليكم

شكرا لك اخي على الحل الجميل

فكرة جميلة يمكنك استعمالها لانشاء متفاوتات جديدة