مجموع الصحيح 1.

[ياسين]

اولمبياد اوكرانيا 1999

احسب المجموع التالي :

[\pi]\:+\:\left[\begin{array}{CC} \frac{[2\pi]}{2} \end{array}\right] \:+\: \left[\begin{array}{CC} \frac{[3\pi]}{3} \end{array}\right] \:+ \:.....\:+\:\left[\begin{array}{CC} \frac{[1999\pi]}{1999} \end{array}\right] \ \left

حيث [x] هو الجزء الصحيح للعدد x

[محمودالجمال2007]

الحل = 3n

[محمودالجمال2007]

الحل = 3*1999=5997

[mohamedegm]

بعض الخطوات لو سمحت أخي محمود.

[ياسين]

حلك صحيح اخي محمود

اكتب طريقتك حتى تعم الفائدة

[mathson]

اولمبياد اوكرانيا 1999

احسب المجموع التالي :

[\pi]\:+\:\left[\begin{array}{CC} \frac{[2\pi]}{2} \end{array}\right] \:+\: \left[\begin{array}{CC} \frac{[3\pi]}{3} \end{array}\right] \:+ \:.....\:+\:\left[\begin{array}{CC} \frac{[1999\pi]}{1999} \end{array}\right] \ \left

حيث [x] هو الجزء الصحيح للعدد x

نظرية: لأي عدد حقيقي x و أي عدد صحيح غير منعدم n نجد أن:

\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor

باستخدام النظرية نجد:

\sum_{i=1}^{1999} \left \lfloor \frac{\lfloor i\pi \rfloor}{i} \right \rfloor = \sum_{i=1}^{1999} \left \lfloor \frac{i\pi}{i} \right \rfloor = \sum_{i=0}^{1999} \lfloor \pi \rfloor = 1999(3) = 5997

[ياسين]

السلام عليكم اخي mathson
حلك في محله ، وشكرا لك على المجهود

هل لك ان تبرهن على النضرية التي استعملتها ؟

[mathson]

السلام عليكم اخي mathson
حلك في محله ، وشكرا لك على المجهود

هل لك ان تبرهن على النضرية التي استعملتها ؟

حتى تستمتع بالمسألة حاول أن تبرهنها.
وعليك استخدام إحدى النظريتين:

\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x + y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1

\lfloor x \rfloor\lfloor y \rfloor \le \lfloor xy \rfloor