اولمبياد 1972 Usa .

[ياسين]

a و b و c اعداد صحيحة طبيعية موجبة , بين ان :

\frac{(a \:\wedge\: b \:\wedge\: c)^2}{(a\:\wedge \:b)(b\:\wedge \:c)(c\:\wedge\: a)}\:=\:\frac{(a \:\vee \:b \:\vee \:c)^2}{(a\:\vee \:b)(b\:\vee \:c)(c\:\vee \:a)}

حيث :

x \:\wedge \:y القاسم المشترك الكبر للعددين x و y


x \:\vee \:y المضاعف المشترك الاصغر للعددين x و y

[mathson]

() تعني العامل المشترك الأكبر ، [] تعني المضاعف المشترك الأصغر.
المسألة تكافئ:

(a,b,c)^2 [a,b][b,c][c,a] = [a,b,c]^2(a,b)(b,c)(c,a)

إذا حللنا الاعداد إلى عواملها الأولية فإن العامل المشترك الأكبر يعني أصغر أس لكل عامل أولي ، و المضاعف المشترك الأصغر يعني أكبر أس.

بفرض أن \alpha_i, \beta_i , \gamma_i تعني أس العامل الأولي رقم i للأعداد a,b,c على الترتيب. نجد أن المسألة تكافئ أيضا:

2 \min(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i) + \max(\alpha_i, \beta_i) + \max(\beta_i, \gamma_i) + \max(\gamma_i, \alpha_i) = 2 \max(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i) + \min(\alpha_i, \beta_i) + \min(\beta_i, \gamma_i) + \min(\gamma_i, \alpha_i)

وبدون فقد لعمومية المسالة نفرض أن : \alpha_i \le \beta_i \le \gamma_i. بالتالي : فإن كلا الطرفين متساويين و كل منهما يساوي 2\alpha_i + \beta_i + 2\gamma_i. وهو المطلوب.

والله أعلم.

[ياسين]

السلام عليكم

ما شاء الله عليك ، حلك جميل و مبدع

شكرا لك.

[ايمان94]

شكرا جزيلا لكني اود حقا معرفة كيف انك توصلت مكافئة المسالة -مثلا لن اعرف لماذا كتبت max 2
و شكرا مرة اخرى على المسالة

[mathson]

شكرا جزيلا لكني اود حقا معرفة كيف انك توصلت مكافئة المسالة -مثلا لن اعرف لماذا كتبت max 2
و شكرا مرة اخرى على المسالة

حياك الله و بياك

من تعريف القاسم المشترك الأكبر. حيث p_i عدد أولي.

\Large \gcd \left(\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}, \prod_{i=1}^np_i^{l_i} \right)=\prod_{i=1}^np_i^{\min\{k_i,l_i\}}\\ \mathrm{lcm} \left(\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}, \prod_{i=1}^np_i^{l_i} \right)=\prod_{i=1}^np_i^{\max\{k_i,l_i\}}

[ايمان94]

شكرا جزيلا. بارك الله فيك و جزاك كل خير.