حل المعادلة التفاضلية الآتية..

[أ.صالح أبو سريس]

حل المعادلة مبيناً خطوات الحل

y^2 dx + (3xy - 1)dy = 0

[صلاح السلول]

dy/dx=-y^2/(3xy-1)
let y=p+1/3
then dp/dx= -(p +1/3)^2/3xp
pdp/(p+1/3)^2=-1/3 dx/x

by integrating
1/2 ln(3p+1)^2-9y^3 =-1/3 ln x+c
1/2 ln(9y^2) -9y^3=-1/3 ln x +c

[laila245]

السلام عليكم

محاولة للحل ...

\LARGE y^2 dx + (3xy - 1)dy = 0

\LARGE M = y^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 2y

\LARGE N = 3xy - 1\quad \Rightarrow \quad \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 3y

بما أن المعادلة غير تامة ... نضرب في معامل التكامل....ولايجاده :

\LARGE \frac{{\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}}}{M} = \frac{1}{y}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dg}}{{dy}} = \frac{g}{y}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dg}}{g} = \frac{{dy}}{y}\quad \Rightarrow \quad g = y

بضرب المعادلة في y

\LARGE y^3 dx + (3xy^2 - y)dy = 0

\LARGE \int {y^3 dx = } y^3 x

\LARGE \int {(3xy^2 - y)dy = } y^3 x - \frac{1}{2}y^2

إذن الحل العام هو :

\LARGE y^3 x - \frac{1}{2}y^2 = c\quad \Rightarrow \quad 2y^3 x - y^2 = c

[أ.صالح أبو سريس]

شكرا لكم على حلولكم الجميلة وبارك الله فيكم .لا شك أنكم بارعون.
وهذه محاولة أخرى للحل من اجل الفائدة

y^2 dx + (3xy - 1)dy = 0
نعيد كتابة المعادلة على الصورة
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{y^2 }}{{1 - 3xy}}
لاحظ أن المعادلة لو قلبت ستصبح من النوع
linear diff equation
\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{1 - 3xy}}{{y^2 }} = \frac{1}{{y^2 }} - \frac{{3x}}{y}
\frac{{dx}}{{dy}} + \frac{3}{y}x = \frac{1}{{y^2 }}
\mu = e^{\int {\frac{3}{y}} dy} = e^{3\ln y} = e^{\ln y^3 } = y^3 x
\mu x = \int {\mu q \to } y^3 x = \int {y^3 } \frac{1}{{y^2 }}dy \to y^3 x = \int {ydy}
\to y^3 x = \frac{{y^2 }}{2} \to 2y^3 x = y^2 + c \to = 2y^3 x - y^2 = c