حدد جميع الدوال !!

[ياسين]

حدد جميع الدوال f المعرفة من \mathbb R \rightarrow \mathbb R و التي تحقق العلاقة التالية :

f(\: \frac{x\:+\:y}{2}\: ) = \frac{1}{2}(\: f(x)\:+\:f(y)\: )

[mourad24000]

الدوال التي تحقق المعادلة السابقة هي الدوال الخطية من الشكل
ax+b
و المعادلة التي طرحتها هي معادلة شهيرة و تسمى معادلة jensen

[ياسين]

شكرا لك اخي مراد على المعلومة .
هي فعلا الدوال التالفية f(x)=ax+b التي تحقق العلاقة لكن هل من خطوات ثتبت ذلك ؟

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
خطوات الحل:
1/ بوضع: x=y=0 ثم أثبت أن f(0)=0 ؟؟؟؟
2/ بوضع: y=0 المسألة السابقة تصبح من الشكل:
( f(x+y)=f(x)+f(y
و هذه المعادلة هي معادلة Cauchy و معروف أن حلولها هي الدوال الخطية أثبت ذلك ؟؟؟
أرجو أن تكون الخطوات واضحة
تحياتي الخالصة

[ياسين]

و علكم السلام و رحمة الله و بركاته
شكرا لك اخي مراد و بارك الله فيك على المجهود