بين ان : f(n) = n .

[ياسين]

لتكن f دالة تحقق الشروط التالية :

1_ f(n) معرفة لكل عدد صحيح طبيعي n .

2_ f(n) عدد صحيح طبيعي .

3_ f(2) = 2

4_ f(m n)=f(m)f(n) لكل m و n

5_ f(m) \: \g \: f(n) مهما يكن m \: \g \: n

بين ان :

f(n)=n

[mathson]

ليس لدي خبرة كبيرة في هذا الموضوع ولكني سأحاول.
بوضع m=n=1:
f(1\cdot 1) = f(1)f(1) \Rightarrow f(1) = f^2(1)\Rightarrow f(1) = 0,1

بفرض أن f(1)=0: منه f(0) < 0 وهنا نخالف الشرط 2.

بالتالي f(1) = 1 منه 0=f(0)<f(1) = 1.
وبوضع m=n=2 نجد f(4) = 4 ، بوضع m=3,n=2 نجد f(6) = 6 و هكذا حتى نجد بالإستقراء الرياضي أن f(2n) = 2n (*)
ولكن
2 = f(2) < f(3) < f(4) = 4
ومنه f(3) = 3 و ايضا:
4=f(4) < f(5) < f(6) = 6
ومنه f(5) = 5 و هكذا أيضا بالإستقراء نجد أن f(2n+1) = 2n+1 (**)

من (*) ، (**) نجد أن f(n) = n \forall n \in \mathbb{N}.

والله أعلم

[ياسين]

السلام عليكم

حلك صحيح لكن كيف استنتجت في البداية ان f(0) \le 0

[صورية]

سلام حل صحيح

[mathson]

السلام عليكم

حلك صحيح لكن كيف استنتجت في البداية ان f(0) \le 0

بصراحة يزداد إعجابي بشخصك الكريم يوما بعد يوم ... لأنك لا تقبل حلا حتى تفهم جميع خطواته. ومن المحتمل أن أقع في خطأ غير مقصود.

في البداية حصلنا على قيمتين للعدد f(1) و القيمتان كانتا 0,1.

عند وضع (افتراضا) f(0) = 0. نعلم أنه من الشرط (5): f(0) < f(1) = 0 ، لكن هذا يعني أن f(0) عدد غير طبيعي!! وهنا تناقض. بالتالي f(1) = 1 و منه 0=f(0) < f(1) = 1.

والله أعلم.

[ياسين]

شكرا لك على التوضيح اخي