بين انه يساوي 1.

[ياسين]

بسم الله الرحمن الرحيم

اليكم هدا التمرين البسيط من اختراعي ، ممكن انه يناسب اولمبياد المرحلة الاعدادية

ليكن a و b و c اعداد حقيقية مختلفة مثنى مثنى ، بين ان :


\red{\frac{ab+ca}{(a-b)(c-a)} \: + \: \frac{bc+ab}{(b-c)(a-b)} \: + \: \frac{ca+bc}{(c-a)(b-c)} \: = \:1}

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

\sum_{cyc}\frac{ab+ca}{(a-b)(c-a)} = \sum_{cyc}\frac{(b-c)(ab+ca)}{(a-b)(c-a)(b-c)} = \sum_{cyc}\frac{ab^2 - ac^2}{(a-b)(c-a)(b-c)} = 1

والله أعلم

[ياسين]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
شكرا لك اخي mathson على الحل المبسط