المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : قواعد في المتفاوتات.


ياسين
18-06-2008, 07:04 PM
بسم الله الرحمن الرحيم





تعتبر تمارين اولمبياد الرياضيات مواضيع غنية بالوضعيات التي تمكن من ادماج التعلمات و تسخير القدرات، نضرا لطابعها الخاص الدي يتطلب نمطا متميزا من التفكير و ابرلز المهارات .
و ليس الهدف الرئيسي من انجاز هده التمارين هو وضع التلميد في محك مع موضوع المعرفة ومع نفسه ، بل هو ايضا الارتقاء بالتلميد الى درجة اعلى من التمكن في استعمال و توضيف معارفه و استتمار قدراته في مواجهة وضعيات المسائل ، ودلك من اجل اكتساب كفايات منهجية و استراتيجية .
فالمتفاوتات مكون رئيسي في تمارين الاولمبياد ، بالطبع الى جانب الهندسة و نضرية الاعداد و الجبر ... و الالمام بقواعد هدا العلم له فوائد عديدة خاصة للمقبلين على مباريات اولمبياد الرياضيات ، ففي المغرب وبالتحديد اولمبياد السنة الاولى و التانية علوم رياضية دائما ما يكون ضمن التمارين الاربعة متفاوتة و لا داعي لتضييع الخمس نقط المترتبة عنها و بالتالي ضمان امل للتأهل للمرحلة المقبلة

ياسين
18-06-2008, 07:32 PM
متفاوتة Cauchy schwartz


ليكن a_1 و a_2 و ...و a_n و b_1 و b_2 و ...و b_n اعداد حقيقية موجبة قطعا :

(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+....+b_n^2) \geq \: (a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)^2


تطبيقات لمتفاوتة Cauchy schwartz :

مثال اول :

بوضع a_i=\sqrt{x_i} و b_i=\frac{1}{\sqrt{x_i}} نجد المتفاوتة الشهيرة :

(x_1\: + \:x_2\: +\:...\:+ \:x_n)(\frac{1}{x_1}\:+\:\frac{1}{x_2}\:+\:...\:+\ :\frac{1}{x_n}) \geq \: n^2

مثال ثاني :

بوضع a_1=\frac{x}{\sqrt{y+z}} و a_2=\frac{y}{\sqrt{z+x}} و a_3=\frac{z}{\sqrt{x+y}} و b_1=\sqrt{y+z} و b_2=\sqrt{z+x} و b_3=\sqrt{x+y} نجد هده المتفاوتة الجميلة :


( \: \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\: )( \:2(x+y+z)\: ) \:\geq \: (x+y+z)^2

\blue \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \: \: \geq \:\frac{x+y+z}{2}

ياسين
18-06-2008, 07:47 PM
متفاوتة schur :

ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة و r \g 0 :

a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b) \: \geq 0

مع التساوي ادا و فقط ادا كان a=b=c=0 او عددين متساويين و الاخر منعدم .

تطبيقات لمتفاوتة schur :

مثال اول :

باخد r=1 نجد :

a^3+b^3+c^3+3abc \: \geq \: a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)

مثال ثاني :

باخد r=2 نجد :

a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \: \geq \: a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)

ياسين
18-06-2008, 11:20 PM
متفاوتة jensen


لتكن f دالة معرفة f : \: I \rightarrow \mathbb R و x_1 و x_2 و .....و x_n من المجال I و \omega_1 و \omega_2 و .....و \omega_n اعداد حقيقية موجبة .

ادا كانت f دالة محدبة :


\omega_1f(x_1)+\omega_2f(x_2)+....+\omega_nf(x_n) \: \geq \: (\omega_1+\omega_2+....+\omega_n)f(\frac{\omega_1x _1+\omega_2x_2+....+\omega_nx_n}{\omega_1+\omega_2 +....+\omega_n})

ادا كانت f دالة مقعرة :

\omega_1f(x_1)+\omega_2f(x_2)+....+\omega_nf(x_n) \: \le \: (\omega_1+\omega_2+....+\omega_n)f(\frac{\omega_1x _1+\omega_2x_2+....+\omega_nx_n}{\omega_1+\omega_2 +....+\omega_n})

تطبيقات لمتفاوتة jensen

مثال اول :

متفاوتة للاستاذ عمر و ياسين (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6331)

مثال ثاني :

متفاوتة اخترعها ياسين (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=12185)

ياسين
19-06-2008, 12:01 AM
متفاوتة المثلث

اذا كانت المتغيرات اضلاع مثلت ABC فان العلاقة التالية محققة لجميع اضلاع اي مثلت :

\{a+b \: \g \: c \\b+c\: \g \: a \\c+a \: \g\: b

و يمكن تعويضها بمتغيرات اخرى x و y و z بحيث :

\{x=a+b-c\\y=b+c-a \\z=c+a-b


ومع هذا التغيير يمكن ايجاد هذه النتيجة المهمة :

\{a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2 }

اذا تحقق الشرط a+b+c=abc في مثلت زواياه حادة بحيث \alpha \: ,\: \beta \: ,\: \gamma \: \in \: ]0 \: , \: \frac{\pi}{2}[ فانه يمكن تحويل هده المتغيرات الى متغيرات اخرى تحقق دلك الشرط :


\{a=\tan(\alpha)\\b=\tan(\beta)\\c=\tan(\gamma)


تطبيقات لمتفاوتة المثلت :

مثال أول :

متفاوتة للاستاذ عمر (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6187)

مثال ثاني :


متفاوتة لياسين (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=11503&highlight=%E3%CA%DD%C7%E6%CA%C9+%E3%CA%E1%CA)

مثال ثالث :

متفاوتة للاستاذ عمر (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=529)

ياسين
19-06-2008, 10:52 PM
متفاوتات الوسط : التربيعي -الحسابي -الهندسي -التوافقي

ليكن n من \mathbb N و x_i من {\mathbb R}^+ حيث i \in \{1 , 2 , 3 , . . . , n \}

\Bigg(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \: \frac{1}{x_i}} \: \Bigg)^n \: \le \: \prod_{i=1}^{n} \: x_i \: \le \: \Bigg( \frac{\sum_{i=1}^{n} \: x_i}{n} \Bigg)^n \: \le \: \Bigg(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} \: x_i^2}{n}}\Bigg)^n

و يتحقق التساوي ادا و فقط ادا كان : x_1=x_2=....=x_n

في حالة عددين حقيقين موجبين تصبح المتفاوتات على الشكل :

\huge{\frac{2}{\: \frac{1}{a} \: + \: \frac{1}{b}} \: \le \: \sqrt{ab}\: \le \: \frac{a+b}{2} \:\le \: \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}

مع التساوي ادا و فقط ادا كان a=b


تطبيقات لمتفاوتة الوسط التربيعي-الحسابي-الهندسي-التوافقي

مثال اول

لدينا حسب متفاوتة الوسط الحسابي -الهندسي لثلاتة اعداد :

(a+b+c)^3 \: \geq \: 27abc

لدينا حسب متفاوتة الوسط التربيعي-الحسابي لثلاتة اعداد :

a^2+b^2+c^2 \: \geq \: \frac{(a+b+c)^2}{3}

مثال ثاني

متفاوتة لياسين برهن عنها الاستاذ عمر (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=12337)

ياسين
20-06-2008, 03:13 PM
متفاوتة Bernoulli

ليكن x و r عددين حقيقين بحيث : r \geq 1 و x \geq -1

\huge{(1+x)^r \: \geq \: 1 \: + \: xr}

متفاوتة Chebyshev

ليكن {a_1} و {a_2} و .....و {a_n} و {b_1} و {b_2} و .....و {b_n} اعداد حقيقية بحيث :

{a_1 \le a_2 \le .....\le a_n} و {b_1 \le b_2 \le .....\le b_n}


\frac{a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n}{n} \: \geq \: \Bigg(\frac{a_1+a_2+....+a_n}{n}\Bigg)\Bigg(\frac{ b_1+b_2+....+b_n}{n}\Bigg) \: \geq \: \frac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+....+a_nb_1}{n}

ياسين
20-06-2008, 03:38 PM
weighted AM-GM inequality

ليكن \omega_1 و \omega_2 و .... و\omega_n اعداد حقيقية موجبة قطعا بحيث : \omega_1 +\omega_2+....+\omega_n =1

لكل x_1 و x_2 و ....و x_n اعداد حقيقية موجبة قطعا ، المتفاوتة التالية محققة :

\omega_1x_1 +\omega_2x_2+....+\omega_nx_n \: \geq \: x_1^{\omega_1 }x_2^{\omega_2} \:.....\: x_n^{\omega_n}

و يتحقق التساوي ادا و فقط اذا كان x_1=x_2=....=x_n


متفاوتة Minkowski

ليكن x_1 و x_2 و ....و x_n و y_1 و y_2 و ....و y_n اعداد حقيقية موجبة قطعا و p \g 1


\Bigg(\sum_{i=1}^{n} \: x_i^p\Bigg)^{\frac{1}{p}} \: + \: \Bigg(\sum_{i=1}^{n} \: y_i^p\Bigg)^{\frac{1}{p}} \: \geq \: \Bigg(\sum_{i=1}^{n} \: (x_i+y_i)^p\Bigg)^{\frac{1}{p}}

ياسين
20-06-2008, 03:56 PM
متفاوتة Tiberiu Popovciu

لتكن f دالة معرفة f \: : \: I \rightarrow \mathbb R على المجال I و x , y , z \in I و p و q و r اعداد حقيقية موجبة .

اذا كانت f دالة محدبة :

pf(x)+qf(y)+rf(z)+(p+q+r)f(\frac{px+qy+rz}{p+q+r}) \geq (p+q)f(\frac{px+qy}{p+q})+(q+r)f(\frac{qy+rz}{q+r} )+(r+p)f(\frac{rz+px}{r+p})


اذا كانت f دالة مقعرة :

pf(x)+qf(y)+rf(z)+(p+q+r)f(\frac{px+qy+rz}{p+q+r}) \le (p+q)f(\frac{px+qy}{p+q})+(q+r)f(\frac{qy+rz}{q+r} )+(r+p)f(\frac{rz+px}{r+p})

ياسين
20-06-2008, 06:13 PM
متفاوتة Holder

ليكن a_1 و a_2 و ....و a_n و b_1 و b_2 و ....و b_n اعداد حقيقية موجبة و p و q عددين حقيقين موجبين قطعا بحيث : \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1



\huge{\frac{a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n }{n} \le \bigg(\frac{a_1^p+a_2^p+....+a_n^p}{n}\bigg)^{\fra c{1}{p}} \: \bigg(\frac{a_1^q +a_2^q+....+a_n^q}{n}\bigg)^{\frac{1}{q}}}



متفاوتة Huygens


لتكن a_1 و ....و a_n و b_1 و ....و b_n و p_1 و ....و p_n اعداد حقيقية موجبة بحيث : p_1+p_2+....+p_n=1




\prod_{i=1}^{n} (a_i+ b_i)^{p_i} \: \geq \: \prod_{i=1}^{n}a_i^{p_i} \: + \: \prod_{i=1}^{n}b_i^{p_i}

ياسين
20-06-2008, 06:33 PM
متفاوتة Suranyi

ليكن a_1 و a_2 و .... و a_n اعداد حقيقية موجبة قطعا




(n-1)\sum_{i=1}^{n} \: a_k^n \: + \: n\prod_{i=1}^{n} \: a_k \: \geq \: \bigg(\sum_{i=1}^{n} \: a_k^n\bigg)\bigg(\sum_{i=1}^{n} \: a_k^{n-1}\bigg)



متفاوتة turkevici

ليكن a و b و c و d اعداد حقيقية موجبة قطعا




a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd \: \geq \: a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2+c^2a^2+b^2d^2

ياسين
20-06-2008, 07:02 PM
متفاوتة Nesbit

ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا .



\huge{\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\: \geq \:\frac{3}{2}}


متفاوتة Flander



ليكن ABC مثلث و A و B و C زواياه



\sin(A)\sin(B)\sin(C) \: \le \: \bigg(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\bigg)^3ABC

ياسين
20-06-2008, 07:10 PM
متفاوتات Yassine

:d

متفاوتة 1 اخترعها Yassine (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=12902)


متفاوتة صغيرة اخترعها Yassine (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=12901)



متفاوتة 3 اخترعها Yassine (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=12185)

ياسين
20-06-2008, 07:30 PM
متفاوتات هامة

ليكن x عددا حقيقيا موجبا


x \: - \: \frac{x^3}{6} \: \le \: \sin(x) \: \le \: x


1 \: - \: \frac{x^2}{2} \: \le \: \cos(x) \: \le \: 1\: -\: \frac{x^2}{2} \: + \: \frac{x^4}{24}


متفاوتة Huygens


\bigg( \: \forall \: x \: \in \: \bigg[\: 0\:, \:\frac{\pi}{2}\: \bigg[\: \bigg ) \bigg( \:2\sin(x)+\tan(x) \: \geq \: 3x \: \bigg )

ياسين
21-06-2008, 02:01 PM
متفاوتات مساعدة

الجزء الاول


لكل b عدد صحيح طبيعي :


\huge{2(\sqrt{b+1}-\sqrt{b})\: \le \: \frac{1}{\sqrt{b}} \: \le \:2(\sqrt{b}-\sqrt{b-1})}


ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة :



a^2+b^2 \: \geq \: \frac{(a+b)^2}{2}



a^2+b^2+c^2 \: \geq \: \frac{(a+b+c)^2}{3}


(a+b)^2 \: \geq \: 4ab



(a+b+c)^3 \: \geq \: 27abc



a^3+b^3 \: \geq \: ab(a+b)

ياسين
21-06-2008, 02:17 PM
متفاوتات مساعدة


الجزء الثاني

ليكن x و y و z اعداد حقيقية موجبة :



xy+yz+zx \: \geq \: x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}


x^2+y^2+z^2 \: \geq \: xy+yz+zx


x^3+y^3 \: \geq \: \frac{(x+y)^3}{4}


x^3+y^3+z^3 \: \geq \: \frac{(x+y+z)^3}{9}



من متفاوتة Chebyshev و لكل n عدد صحيح طبيعي اكبر قطعا من 2 :


\huge{\frac{x^n+y^n}{x^{n-2}+y^{n-2}} \: \geq \: \frac{(x+y)^2}{4}}



\huge{ \frac{xy+yz+zx}{(x+y+z)^2} \: \le \: \frac{1}{3}}

ياسين
21-06-2008, 02:42 PM
متفاوتات مساعدة


الجزء الثالث


ليكن x و y و z اعداد حقيقية موجبة قطعا


\huge{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \: \geq \: \frac{4}{x+y}}


\huge{ x+\frac{1}{x} \: \geq \: 2}


\huge{ x^2+y^2 \: \geq \: 2xy}


\huge{(x+y+z)^3 \: \geq \:x^3+y^3+z^3+24xyz}


\huge{(x+y)(y+z)(z+x) \: \geq \: 8xyz}


اذا كانت x و y و z اضلاع مثلث فان :



\huge{xyz \: \geq \: (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)}

ياسين
21-06-2008, 02:53 PM
متطابقات هامة تساعد في البرهنة على بعض المتفاوتات


(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca



(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2c d



(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3 \bigg(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \: \bigg)+6abc

Amel2005
21-06-2008, 04:21 PM
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

جزاك الله خيراً أخانا / الأستاذ ياسين

ما طالعته الآن .. وبكل صدق

من أروع المواضيع المتكاملة عن المتفاوتات

أسأل الكريم أن يزيدك علماً وأن ينفعنا وينفعك به ...

وأن يجعل تواجدك في أي مكان خيراً وبركة عليه ..

الآن بدأت أتفهم هذا العلم السئ حظاً في مناهج دول "المشرق العربي"

فشكراً جزيلاً لك ... ،

ياسين
21-06-2008, 06:31 PM
و علكيم السلام ورحمة الله وبركاته

اللهم امين ، شكرا لك اختي على تشجيعي لكتابة الموضوع

اتمنى الاستفادة للجميع

SmiLER
23-06-2008, 03:03 AM
\Huge \frac{10}{10}

شكراً

:)

وجزاك الإله خيراً

طارق الصيعري
23-06-2008, 10:37 AM
جزاك الله خيراً

من أجمل المواضيع المتكاملة التي رأيتها

التي كنت أبحث عنها منذ فترة

بارك الله فيك وزادك علماً ورزقنا الله مثله

ppu
15-02-2009, 10:45 AM
بارك الله فيك أستاذ ياسين

موضوع متكامل وأكثر من رائع

hichamsharingan
29-04-2009, 11:23 PM
مشكور

salamandra
03-05-2009, 02:49 PM
شكرا أخي ياسين قواعد مهمة

فارس السنة
22-05-2009, 07:47 PM
موضوع جد رائع!! .. جزاك الله عنا خير الجزاء.

يام
31-05-2009, 12:19 AM
بيض الله وجهك بياض البن

hichamsharingan
11-06-2009, 01:36 AM
مشكور أخي جازاك الله خيرا

tdi
04-10-2009, 12:39 AM
merci