متفاوتة 4

[jockereda]

لتكن a و b و c و d أعدادا حقيقية موجبة قطعا.نضع:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0198728001213982177.png
1) بين أن:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0183104001213982283.png
2) بين أن:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0011243001213982390.png
3) استنتج أن :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0886245001213982435.png

بالتوفيييق...

[ياسين]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

هذا برهان المتفاوتة الاولى

نعلم ان (x+y)^2 \geq 4xy

نضع x=a+b و y=c+d

ومنه ينتج (a+b+c+d)^2 \geq 4(a+b)(c+d)

[jockereda]

شكرا أ/ ياسين على الحل...أنتظر اجابيتك لباقي التمرين...

[mathson]

المسألة رقم 3

أثبت أن :
\Large \displaystyle S = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b} \ge 2

الحل: (ستجد حلول المسائل الباقية في هذا الحل و لكن ضمنيا.)
لو جمعنا الحدين لوجدنا:
\Large \displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{c}{d+a} = \frac{a^2 + c^2 + ad + bc}{(b+c)(a+d)}

ولكن لاحظ أن xy \le (x + y)^2 / 4 . بوضع x=a+d, y=c+b نصل إلى أن (a+d)(b+c) \le (a+b+c+d)^2/4.

والآن نجد أن:

\Large \displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{c}{d+a} \ge 4\frac{a^2 + c^2 + ad + bc}{(a+b+c+d)^2}

بالمثل للحدين الآخرين . في النهاية نجد أن:

\Large \displaystyle S \ge 4 \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ad + bc + ab + cd}{(a+b+c+d)^2} = 4 \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ad + bc + ab + cd}{[(a+c) + (b+d)]^2}

والمطلوب الآن إثبات أن :

\Large \displaystyle 2 \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + (a+c)(b+d)}{[(a+c)+(b+d)]^2} \ge 1

بالتبسيط نجد أن المسألة مكافئة لـ :

\Large \displaystyle 2(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge (a+c)^2 + (b+d)^2 \Leftrightarrow a^2 + c^2 + b^2 + d^2 \ge 2ac + 2bd

وهي صحيحة بواسطة AM-GM.

والله أعلم

[ياسين]

المسألة رقم 3

أثبت أن :
\large \displaystyle s = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b} \ge 2

الحل: (ستجد حلول المسائل الباقية في هذا الحل و لكن ضمنيا.)
لو جمعنا الحدين لوجدنا:
\large \displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{d}{a+b} = \frac{a^2 + c^2 + ad + bd}{(b+c)(a+d)}
والله أعلم


اضن ان هناك خطأ في الجمع

[mathson]

اضن ان هناك خطأ في الجمع

تم التعديل.

[ياسين]

[COLOR="Red"]المسألة رقم 3
والمطلوب الآن إثبات أن :

بالتبسيط نجد أن المسألة مكافئة لـ :

\Large \displaystyle 2(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge (a+c)^2 + (b+d)^2 \Leftrightarrow a^2 + c^2 + b^2 + d^2 \ge 2ac + 3bd

وهي صحيحة بواسطة AM-GM.

والله أعلم



السلام عيلكم

المتفاوتة الاخيرة خاطئة

كمتال

a=b=c=d=1

سينتج 4\geq 5

[mathson]

السلام عيلكم

المتفاوتة الاخيرة خاطئة

كمتال

a=b=c=d=1

سينتج 4\geq 5

عفوا... خطأ مطبعي ليس أكثر :d.

[ياسين]

شكرا لك على التوضيح ، فحلك صحيح

يمكن ايضا استعمال متفاوتة cauchy schwarz للبرهنة على المتفاوتة

و حلها سيكون اجمل و مختصر ، اتركها لمن يود المشاركة

[jockereda]

لم يتم التعديل بعد...المرجو من الاخ mathson مراجعة حلوله .

[mathson]

لم يتم التعديل بعد...المرجو من الاخ mathson مراجعة حلوله .

بالفعل هنالك بعض الأخطاء تم تعديلها...

وإن وجد خطأ آخر ... أخبرني :d

[jockereda]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، شكرا لك على تقبل ملاحظاتي بروح رياضية ..