تمرين أولمبي.

[jockereda]

ليكن n و p عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين.
1) تحقق أن:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0386235001213982706.png مع http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0854991001213982775.png
2) أثبت أن:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0261255001213982925.png

[jockereda]

أنتظر اجاباتكم..والى دلك الحين أدعو لكم بالتوفيق.

[jockereda]

ما من حل بعد؟

[ياسين]

لا تستعجل فهناك مسائل مرت عليها سنين و لم تحل حتى الان و لم يشتك اصحابها قط !!!

على كل اليك برهان الطرف الايسر

لدينا حسب الشرط n \: \geq \: p

\Rightarrow n +n \: \geq \: n+p


\Rightarrow 2n \: \geq \: n+p


\Rightarrow \frac{1}{n+p} \: \geq \: \frac{1}{2n}


بتعويض p بالقيم 1 ,2 , 3 ,..., n ينتج :

\frac{1}{n+1} \: \geq \: \frac{1}{2n}

\frac{1}{n+2} \: \geq \: \frac{1}{2n}

\frac{1}{n+3} \: \geq \: \frac{1}{2n}

...........

...........

...........

\frac{1}{n+n} \: \geq \: \frac{1}{2n}

بجمع المتفاوتات طرف بطرف نجد ان :


\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+ \frac{1}{n+n} \: \geq \: \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}

و منه

\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+ \frac{1}{n+n} \: \geq \: \frac{n}{2n}

هذا هو المطلوب

\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+ \frac{1}{n+n} \: \geq \: \frac{1}{2}

[jockereda]

شكرا أ/ياسين...
كان الهدف من دلك هو اثارة الانتباه الى هده المسألة..

[ياسين]

السلام عليكم ورحمة الله و بركاته

لا شكر على واجب ، لا تقلق فبين الحين و الاخر ألقي نضرة على جميع مواضيعك خصوصا الجبرية.

[jockereda]

أنا لم أتقلق...بل على العكس أفرح كثيرا عندما أعلم أنك تمر على مواضيعي..و السلام عليكم