مسابقة أجمل حل : س4

[uaemath]

السلام عليكم ،

سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط :

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

السؤال الرابع

أوجد جميع حلول المعادلة التالية :

3 جتاس + 4 جاس = 5

المسألة العامة :

أوجد جميع حلول المعادلة التالية :

أ جتاس + ب جاس = جـ 

======================================
Solve the equation

3cosx + 4sinx = 5

The general problem 
Solve the equation

a cosx + bsinx = c



من سيعطينا أجمل حل ؟

http://www.arabruss.com/uploaded/1/ajmal3.gif

[شراسة انثى]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
يعطيك العافية اخي
ممكن سؤال
هلاء لكل عضو بس حل واحد ولا ممكن اكتر من حل؟
يعني لو هلاء حليت بس بعدين لاقيت انو ممكن احلها بطريقة احلى بينفع ارجع احط الحل التاني هون؟
دمت بود

[uaemath]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

ممكن وضع أي عدد من الحلول المختلفة بواسطة نفس المشارك و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

[isr_sh]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

مسابقة جدا رائعة ...

امهلوني بعضا من الوقت حتى أراجع معلوماتي

أتمنى أن لايسبقني أحد بالحل ويكون حلي هو الحل الحاصل على المرتبة الأولى

[جود الحرف]

محاولة جداً متواضعة ..

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0727464001233950844.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0242853001233950918.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0899119001233951189.png
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0039717001233952787.png
للتأكد /
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0070986001233955321.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0930332001233953321.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0024117001233953355.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0102227001233953474.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0889900001233953533.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0321025001233953746.png

وبشكل عام /

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0977392001233954871.png


حيث :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0727229001233955050.png

[hesham]

بسم الله الرحمن الرحيم
اخي المشرف يعطيك العافيه
اليكم الحل :
بالتعويض عن جتا س = الجذر التربيعي (1 - جا^2س)
فأن 3 [الجذر التربيعي(1- جا^2س)] = 5 - 4 جاس
بتربيع الطرفين نصل للمعادله التربيعية
25جا^2س -40جاس +16=0
بحل المعادله باستخدام القانون نجد أن : المميز =0
اذن جاس = -ب| 2أ = 4/5
س = 53،13 ْ
مع تحياتي للجميع

[نوريتا]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته.........
سلمتم ......
حل متواضع...
3جتاس+4 جاس=5ــــــــــــ (*)
(*) ÷ 5

0.6جتاس +0.8 جاس =1 ـــــــــــ (**)
ضع هـ هي الزاوية التي جيبها = 0.8 وجيب تمامها 0.6
اذن هـ = 53.13

تصبح (**)
جتاس جتاهـ + جاس جاهـ =1
منها: جتا(س-هـ) =1
اذن س-هـ = 0 , 360 , 720 , ........
بما أن هـ = 53.13
اذن
س = 53.13 , 413.13 , 773.13 , ..........

[محمد خالد غزول]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.arabruss.com/uploaded/58282/1233974032.jpg

[tals]

منتدى جميل وفيه معلومات مفيدة
يشكر القائمين عليه

[mathson]

سبقنا الإخوة الكرام و لم يتركوا لنا شيئا.

لكن لدي فكرة بسيطة، وأرجو أن لا أكون قد أخطأت في شيء.

نعلم أن a+bi = r(\cos \theta + i \sin \theta). بالتالي a+b = r(\cos \theta + \sin \theta) ويجب أن تحقق a^2+b^2 = r^2 .

الآن نأتي إلى المسألة: 3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 5 تتحول إلى 3(\cos \theta + \sin \theta) + \sin \theta = 5.
بالتعويض في المعادلة الأخيرة:
a + b + \frac{b}{3} = 5 \Rightarrow 3a + 4b = 15.
ولكن:
a^2 + b^2 = \left(\frac{15 - 4b}{3}\right)^2 + b^2 = 9
ومنه
144- 120b + 25b^2 =0\Rightarrow b = \frac{12}{5}\Rightarrow \theta \approx 53^\circ

أو بشكل عام فإن حلول أي معادلة بهذا الشكل هو:

\pm \arccos \left(\frac{bc - a\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}}{a^2 + b^2} \right)\\ \pm \arccos \left(\frac{bc + a\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}}{a^2 + b^2} \right)\\

مع ملاحظة أن ليس كل الحلول دائما ستكون موجودة.

والله أعلم.

[mlyazid21]

أجمل حل لهذه المسألة : 3cos(x)+4sin(x)=5
بقسمة طرفي المعادلة على 5نجد:

(3/5)cosx+(4/5)sinx=1
إذن يوجد عدد حقيقي y بحيث : cosy=0.6 ,siny=0.8أيأن: y=53.13°
تكتب المعادلة السابقة : cosycosx+sinysinx=1
وهي مكافئة للمعادلة : cos(x-y)=1
ومنه نجد :
x-y=(pi/2)+2(pi)k
x=y+(pi)/2+2(pi)k
وحيث أن : y=53.13° نجد: x=143.13°.

[zeead]

بسم الله الرحمن الرحيم
اخي المشرف يعطيك العافيه
اليكم الحل :
بالتعويض عن جتا س = الجذر التربيعي (1 - جا^2س)
فأن 3 [الجذر التربيعي(1- جا^2س)] = 5 - 4 جاس
بتربيع الطرفين نصل للمعادله التربيعية
25جا^2س -40جاس +16=0
بحل المعادله باستخدام القانون نجد أن : المميز =0
اذن جاس = -ب| 2أ = 4/5
س = 53،13 ْ
مع تحياتي للجميع

أخي الكريم مع تحيتي لك فإن هذه الطريقة خطيرة جداً فهناك حلول تفقد بسبب فكرة تربيع الطرفين، وهذه تذكرني أيضاً الخطأ الآخر وهو القسمة على أحد الدالتين جتا أو جا فهي طريقة أيضا تؤدي لفقد بعض الحلول والسبب في الحالة الأولى فقد الإشارة، وفي الحالة الثانية احتمالية كون الدالة تساوي صفر وارد، ولذلك فإن هذه الطريقة تنفع فقط بشروط ولذلك أنصح بعدم تدريسها للطلاب بهذا الشكل أبداً ولكم الشكر

[mlyazid21]

[COLOR="Indigo"]أجمل حل لهذه المسألة : 3cos(x)+4sin(x)=5
بقسمة طرفي المعادلة على 5نجد:

(3/5)cosx+(4/5)sinx=1
إذن يوجد عدد حقيقي y بحيث : cosy=0.6 ,siny=0.8أيأن: y=53.13°
تكتب المعادلة السابقة : cosycosx+sinysinx=1
وهي مكافئة للمعادلة : cos(x-y)=1
ومنه نجد :
x-y=0+2(pi)k
x=y+2(pi)k
وحيث أن : y=53.13° COLOR]

merci bcp

[دالياسميرعوض]

بسم الله الرحمن الرحيم
الحمدلله والصلاة والسلام على رسول الله وعلى آله وصحبه أجمعين
رااااااااااااااااااائع
مجهود جميل جدا
جزاكم الله خيرا
والى الامام دائما ان شاء الله

[محمد بدر حاتم]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.arabruss.com/uploaded/58282/1233974032.jpg

حل علمي جميل ومميز ارشحه لاجمل حل
بارك الله فيك والى الامام دوما
:tme:

[سيد كامل]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1234041796.gif

[asyam24]

http://www12.0zz0.com/2009/02/08/04/968434365.jpg

[naserellid]

اولا : احمد الله على عودة المنتدى واتمنى الجميع التوفيق وهذه اول مشاركة لي بعد العودة الحميدة وهو حل جرئ جدا

http://www.arabruss.com/uploaded/4262/1234096406.zip

http://www.arabruss.com/uploaded/1/nasserllid.gif

[farsrada]

والله مااعرف الرياضيات

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباُ بالأعضاء الكرام

الحالة الخاصة
المطلوب حل المعادلة
3 جتاهـ + 4 جاهـ = 5

بوضع س = جتا هـ & ص = جا هـ
حيث ( س , ص) تحقق المتطابقة الأساسية س2 + ص2 =1
تصبح المعادلة المعطاة على الصورة
3 س + 4 ص = 5 وهى معادلة خط مستقيم
وتكون مجموعة الحل المطلوبة هى نقط تقاطع هذا المستقيم المعطى مع دائرة الوحدة س2 + ص2 =1

الأن : طول العمود الساقط من مركز الدائرة على هذا المستقيم
ل = |جـ| \ الجذر التربيعى ( أ2 + ب2)= 5 \ جذر ( 9 + 16)= 1

فيكون المستقيم المعطى مماس لدائرة الوحدة عند النقطة ( س1,ص1) وهى على الصورة س1 س + ص1 ص = 1

وبمقارنة المعاملات نجد أن س1 = جتا هـ = 3\5 & ص1= جا هـ = 4\5==> هـ تقع فى الربع الأول ==> هـ هى الزاوية الحادة التى جيبها = 4\5
مجموعة الحل
{ هـ + 2 ن ط : ن اى عدد صحيح , ط هى النسبة التقريبية }

الحالة العامة
المطلوب حل المعادلة
أ جتاهـ + ب جاهـ = جـ
بوضع س = جتا هـ & ص = جا هـ
حيث ( س , ص) تحقق المتطابقة الأساسية س2 + ص2 =1

تصبح المعادلة على الصورة
أ س + ب ص = جـ وهى معادلة خط مستقيم
وتكون مجموعة الحل هى نقط تقاطع هذا المستقيم المعطى مع دائرة الوحدة
س2 + ص2 =1

الأن : طول العمود الساقط من مركز الدائرة على هذا المستقيم
ل = |جـ| \ الجذر التربيعى ( أ2 + ب2)

أولاً : فى حالة ل > 1 لا يقطع المستقيم الدائرة ومجموعة الحل فاى

ثانياً : فى حالة ل = 1 يكون المستقيم مماس للدائرة
عند النقطة ( أ\جـ , ب \جـ) وتكون مجموعة الحل هى
{ هـ + 2 ن ط : ن اى عدد صحيح , ط هى النسبة التقريبية }
حيث 0 < هـ < 360 , جتا هـ = أ\جـ , جاهـ = ب\جـ
وهى الحالة الخاصة المعطاة

ثالثا: ل < 1
المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان يمكن الحصول عليهما بحل النظام
أ س + ب ص = جـ & س2 + ص2 = 1 معاً

شكراً للجميع









ت

[fares_gent]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.arabruss.com/uploaded/58282/1233974032.jpg

مشكور على الحل الجميل
وما سيبتش أى فرصة لينا نقول فيها حاجة قلت إنت كل حاجة
أكرر شكرى

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباُ بالأعضاء الكرام

الحالة العامة
المطلوب حل المعادلة
أ جتاهـ + ب جاهـ = جـ
بوضع س = جتا هـ & ص = جا هـ
حيث ( س , ص) تحقق المتطابقة الأساسية س2 + ص2 =1

تصبح المعادلة على الصورة
أ س + ب ص = جـ وهى معادلة خط مستقيم
وتكون مجموعة الحل هى نقط تقاطع هذا المستقيم المعطى مع دائرة الوحدة
س2 + ص2 =1

الأن : طول العمود الساقط من مركز الدائرة على هذا المستقيم
ل = |جـ| \ الجذر التربيعى ( أ2 + ب2)

أولاً : فى حالة ل > 1 لا يقطع المستقيم الدائرة ومجموعة الحل فاى

ثانياً : فى حالة ل = 1 يكون المستقيم مماس للدائرة
عند النقطة ( أ\جـ , ب \جـ) وتكون مجموعة الحل هى
{ هـ + 2 ن ط : ن اى عدد صحيح , ط هى النسبة التقريبية }
حيث 0 < هـ < 360 , جتا هـ = أ\جـ , جاهـ = ب\جـ
وهى الحالة الخاصة المعطاة

ثالثا: ل < 1
المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان يمكن الحصول عليهما بحل النظام
أ س + ب ص = جـ & س2 + ص2 = 1 معاً


نكمل
ثالثا: ل < 1
المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان يمكن الحصول عليهما بحل النظام
أ س + ب ص = جـ & س2 + ص2 = 1 معاً

بالتعويض من المعادلة الأولى فى الثانية عن قيمة ص نحصل على المعادلة
س2 + [ ( جـ - أ س )\ ب]2 = 1
(أ2 + ب2) س2 - 2 أ جـ س + جـ2 - ب2 = 0
و نحصل على الحل من القانون العام
الجذر الأول س = [أ جـ + ب × جذر ( أ2 + ب2 - جـ2)] \ (أ2 + ب2)
الجذر الثانى س = [أ جـ - ب × جذر ( أ2 + ب2 - جـ2)] \ (أ2 + ب2)

[عبد الحميد السيد]

http://www.arabruss.com/uploaded/24478/1234216202.jpg

[مي حافظ]

3cosx+4sinx=5

3cos x = 5 – 4sin x

:by squaring

9cos2x = 25 +16sin2 x - 40sin x

(adding 9sin^2x to both sides)

cos^2x+ 9sin^2x = 25 + 25sin^2x- 40sinx

25sin^2x - 40sin x +16=0

5sinx – 4)2 = 0 )

5sinx=4

Sin x =4/5

X=53 7 48.37

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
1/ حل المعادلة: 3cosx+4sinx=5
نضع العدد المركب: z=3+4i على الشكل المثلثي أي: z=r{e}^{i\theta } حيث: r=\left|z \right|=5 و \theta =Arg(z)\equiv \theta \left[2\pi \right]
حيث: cos\theta =\frac{3}{5} , sin\theta =\frac{4}{5}\Rightarrow \theta =arctan\frac{4}{3}
المعادلة السابقة تصبح على النحو التالي:
5cos(x-\theta )=5\Leftrightarrow cos(x-\theta )=1=cos0
\Leftrightarrow x=\theta +2k\pi /k\in \mathbb{Z}
و منه مجموعة الحلول هي:
S=\left(\theta +2k\pi ;k\in \mathbb{Z}/\theta =Arctan\left(\frac{4}{3} \right) \right)

[mourad24000]

2/ حل المعادلة العامة: acosx+bsinx=c
- إذا كان \left(a,b \right)\neq \left(0,0 \right) نضع: r=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}} و z=\frac{a+ib}{r} . لدينا \left|z \right|=1 ومنه يوجد \theta \in \mathbb{R} بحيث: z={e}^{i\theta }
المعادلة السابقة تصبح على الشكل التالي:
cos\theta cosx+sin\theta sinx=\frac{c}{r}\Leftrightarrow cos(x-\theta )=\frac{c}{r}.
- نناقش عدد الحلول حسب وضعية c بالنسبة إلى \pm r
المناقشة:
- إذا كان \left|\frac{c}{r} \right|\succ 1 لا توجد حلول.
- إذا كان \left|\frac{c}{r} \right|\leq 1 يوجد هناك حلين للمعادلة السابقة هما:{x}_{1,2}={z}_{1,2}+\theta +2k\pi /k\in \mathbb{Z}
حيث: {z}_{1,2} هما حلي المعادلة: cosz=cos(x-\theta )=\frac{c}{r}.
أو طريقة أخرى:
المعادلة السابقة يمكن كتابتها على الشكل: Re\left((a-ib){e}^{ix}-c \right)=0 و التفسير الهندسي لهذه المعادلة هو عبارة
عن إيجاد نقط التقاطع بين الدائرة المثلثية و المستقيم الذي معادلته: Arg\left((a-ib)z-c \right)=1

[علاء رمضان]

http://www.arabruss.com/uploaded/1505/1234450211.bmp
http://www.arabruss.com/uploaded/1505/1234450391.bmp

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحقيقة :tme: لجميع المشاركين ، هناك حلول لم نتوقع رؤيتها و لم نفكر بأن هذا السؤال يمكن حله بطرق متعددة و مختلفة ، 11 طريقة فاقت كل التصورات :clap::clap::clap:

و الحقيقة أيضا أن الاختيار كان صعبا جدا :h:
مع التنويه بحل كل من الأخوين علاء رمضان و asyam24

نتيجة السؤال الرابع
أجمل حل المرتبة الاولى :
mourad24000:
5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية :
استاذ الرياضيات:
4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة :
مي حافظ :
3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة :
محمد خالد غزول :
نقطتان

نقطة واحدة للحلول غير المكررة لكل من :
جود الحرف
علاء رمضان
رامي عبود
سيد كامل
نوريتا
hesham
mathson
mlyazid21
asyam24
naserellid
:clap::clap::clap:

[naserellid]

اسف لقد فاتني الوقت قليلا وهو
http://www.arabruss.com/uploaded/4262/444.doc

http://www.arabruss.com/uploaded/1/naserellid2.gif

[uaemath]

شكرا أستاذي الفاضل على الطريقة الرائعة و التي كنت مستغربا لماذا لم
يستخدمها أحد مع أنها من الطرق المشهورة لحل هذه المسألة !

و الحقيقة أنك لم تتأخر و لكن تم تعديل وقت إنتهاء المسابقة إلى السادسة

مساءً بتوقيت غرينيتش بدلا من منتصف الليل (لموافقته الرابعة صباحا هنا)

و نحن الذين عليهم واجب الاعتذار :h:

:tme: