متفاوتة جميلة من اختراعي

[ياسين]

اثبث انه في اي متلث ، المتفاوتة التالية محققة :


http://www.arabruss.com/uploaded/11484/1234299579.jpg

حدد حالة التساوي

[mathson]

متفاوتاتك جميلة.
وإليك الحل:

يمكن اختزال المسألة لتصبح على النحو:

(\sin A \cos A)^2 + (\sin B\cos B)^2 + (\sin C \cos C)^2 \ge \frac{4}{3}\sin ^2 A \sin ^2 B \sin ^2 C

بملاحظة بسيطة:

LHS= \sum_{cyc} \sin^2 A \cos^2 A \ge \frac{\displaystyle \left( \sum_{cyc}\sin A \cos A\right)^2}{3} = \frac{4}{3} \sin^2 A \sin ^2 B \sin ^2 C

والله أعلم.

[ياسين]

السلام عليكم

حلك صحيح ، شكرا لك على المجهود

هده طريقتي التي توصلت بها للمتفاوتة

استعمال المتفاوتة المساعدة a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}

و ايضا المتساوية المساعدة \frac{cos(A)}{sin(B)sin(C)}+\frac{cos(B)}{sin(C)si n(A)}+\frac{cos(C)}{sin(A)sin(B)} =2