مسابقة أجمل حل - س5

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


السؤال الخامس

حل التكامل:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0485191001234548920.png

المسألة العامة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0641119001234549473.png

======================================
Evaluate the integral

\Huge \int{\frac{dx}{cosx}

The general problem


Evaluate the integral

\Huge \int{\frac{dx}{cos^n x}



من سيعطينا أجمل حل ؟

http://www.arabruss.com/uploaded/1/ajmal4.gif

سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

[rachane]

نستعمل التكامل بتغيير الhttp://www.arabruss.com/uploaded/59231/1234570157.jpgمتغير

[awni]

تكامل دس/جتاس=تكامل قاس دس=تكامل قاس(قاس+ظاس)/(قاس+ظاس)دس
تكامل قاس^2+قاس ظاس\(قاس+ظاس) دس
ص=قاس +ظاس دص/دس=قا^س + قاس ظاس
بالتعويض تكامل دص/ص= لو القيمة المطلقة ص +ج
= لو القيمة المطلقة (قاس +ظاس) +ج

[naserellid]

اجابة السؤال الخامس هو :
http://www.arabruss.com/uploaded/4262/q5.doc
وبصفة عامة يكون كالأتي :
http://www.arabruss.com/uploaded/4262/image3.gif

[ميكانيكا]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

http://www.arabruss.com/uploaded/391/1234607323.gif

[3alloushi]

http://www.arabruss.com/uploaded/7308/1234607988.bmp

[سيد كامل]

http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1234608963.gif

[سيد كامل]

تكملة بسيطة لحلي السابق
http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1234609302.gif

[مازن على]

بارك الله فيكم

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
1/ ايجاد التكامل : {I}_{1}=\int \frac{dx}{cosx}
لدينا:
\frac{1}{cosx}=\frac{cosx}{{cos}^{2}x}=\frac{cosx} {1-{sin}^{2}x} =\frac{1}{2}\left<\frac{cosx}{1-sinx}+\frac{cosx}{1+sinx} \right>
و منه التكامل يصبح على النحو التالي:
{I}_{1}=\frac{1}{2}\left[\int \frac{cosx}{1-sinx}dx+\int \frac{cosx}{1+sinx}dx \right]=\frac{1}{2}\left[-ln(1-sinx)+ln(1+cosx) \right]+C
و عليه:
{I}_{1}=ln\left(\sqrt{\frac{1+cosx}{1-sinx}} \right)+C=ln\left(\left|tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right| \right)+C
2/ حل التكامل العام:{I}_{n}=\int \frac{dx}{{cos}^{n}x}
{I}_{n}=\int \frac{dx}{{cos}^{n}x}=\int \left(\frac{{cos}^{2}x+{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x} \right)dx={I}_{n-2}+ \int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}dx
\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}dx=\int sinx.\frac{sinx}{{cos}^{n}x}dx
نستعمل التكامل بالتجزئة:
u=\frac{sinx}{{cos}^{n}x}\Rightarrow {u}^{'}=\frac{1}{{cos}^{n-1}x}+\frac{{sin}^{3}x}{{cos}^{n+1}x}
{v}^{'}=cosx\Rightarrow v=sinx
و بعد التعويض و التبسيط نجد
\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}=\frac{1}{(n-1)}\left[\frac{sinx}{{cos}^{n-1}x}-{I}_{n-2} \right]
و في الأخير نحصل على العلاقة التراجعية التالية: من أجل n\geq 2
{I}_{n}=\frac{sinx}{(n-1){cos}^{n-1}x}+\left(\frac{n-2}{n-1} \right){I}_{n-2}

[Nuha87]

بسم الله الرحمن الرحيم
here's my answer
http://www.arabruss.com/uploaded/59770/1234751039.doc

[طارق شريفة]

http://www.arabruss.com/uploaded/59519/1234753657.gif

[ميكانيكا]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اعجبني جدا حل الاستاذ مراد ، بسيط وذكي.

[naserellid]

http://www.arabruss.com/uploaded/4262/untitled22.bmp

[uaemath]

الشكر الجزيل لكل المشاركين

النتيجة :

المركز الاول : rachane

5 نقاط

المركز الثاني : mourad24000

4 نقاط

المركز الثالث : 3alloushi

3 نقاط

المركز الرابع : ميكانيكا

نقطتان

نقطة واحدة لكل من

awni
nasserllid
سيد كامل
طارق شريفة
Nuha87