طلب :n عدد صحيح طبيعي بحيث 4n+2 ليس مربعا كاملا

[ايمان94]

السلام عليكم ورحمة الله تعالى و بركاته
طلب مستعجل :

ليكن n عددا صحيحا طبيعيا بحيث 4n+2 ليس مربعا كاملا . لنبين ان:
الجزء الصحيح لجذر 4n+2 = الجزء الصحيح ( لجذر n + جذرn+1 )
و شكرا

[mathson]

الحل:

الدالة f(n) = \sqrt{4n+2}-\sqrt n - \sqrt{n+1} دالة متناقصة على الفترة (0,\infty)، و أيضا f(0)<1. بالتالي فإن الفرق لا يتجاوز 1 مما يعني أن صحيح العددين متساوِ.

[ايمان94]

شكرا على الحل .
لكن اتمنى لو تساعدوني على حلها انطلاقا من:
تبيين ان : جذر n + جذر n+1 اصغر قطعا من جذر 4n+2
ثم تبيين انه لا يوجد k ينتمي الى مجموعة الاعداد النسبية بحيث :
جذر 4n+1 =>ك> جذر n +جذر n+1

[mathson]

شكرا على الحل .
لكن اتمنى لو تساعدوني على حلها انطلاقا من:
تبيين ان : جذر n + جذر n+1 اصغر قطعا من جذر 4n+2
ثم تبيين انه لا يوجد k ينتمي الى مجموعة الاعداد النسبية بحيث :
جذر 4n+1 =>ك> جذر n +جذر n+1

نظرية الوسط الحسابي ... الوسط التربيعي (يجب أن تكون الأعداد موجبة)

\frac{x+y}{2} \le \sqrt{\frac {x^2+y^2}{2}}

ومن النظرية نجد أن :

\sqrt n + \sqrt {n+1}< 2\sqrt{\frac {n+n+1}{2}}=\sqrt{2(2n+1)}=\sqrt {4n+2}

أما الثانية فلست متأكد منها ؟؟؟ بالفعل هي غريبة علي.

[ايمان94]

شكرا على المساعدة. لكن هل هذا كافي للاجابة على التمرين

[mathson]

ثم تبيين انه لا يوجد k ينتمي الى مجموعة الاعداد النسبية بحيث :
جذر 4n+1 =>ك> جذر n +جذر n+1



على حد علمي القليل. بين كل عددين حقيقين غير متساويين عدد نسبي .

والله اعلم

[ايمان94]

شكرا جزيلا لك يظهر لي ان جوابك الاول كافي للاجابة على التمرين . و جزاك الله كل خير.

[romanof]

http://www5.0zz0.com/2009/05/04/02/222136082.gif (http://www.0zz0.com)
في الحقيقة أن نهاية النسبة بينهما تاخذ القيمة واحد مما يدل على أنهما متكافئان تقريبا