مسابقة أجمل حل - س6

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


السؤال السادس

أوجد الزاوية بين المستقيمين:

س + ص + 1 = 0
-2 س + ص + 2 = 0

المسألة العامة :

أوجد الزاوية بين المستقيمين:

أس + ب ص + جـ = 0
د س + هـ ص + و = 0

ملحوظة : حل المسألة العامة ليس إجباريا
======================================
Find the angle between the straight lines

x + y + 1 = 0
2x + y + 2 = 0 -

The general problem


Find the angle between the straight lines

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0


NB: Solving the general problem is not obligatory

من سيعطينا أجمل حل ؟



سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

[SmiLER]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته



ميل المستقيم الأول =\red \Large -1



ميل المستقيم الثاني = \red \Large 2



\blue \Large {tan \Theta = \frac{2 - (-1)}{1 + (2) (-1)} = \frac{3}{-1}= -3 }



إذن الزاوية المحصورة بين المستقيمين هي الزاوية التي ظلها (\red \Large -3)


شكراً

[hesham]

بسم الله الرحمن الرحيم
محاولة متواضعه
س +ص +1 =0 ــــــــــــــــــ> (1)
-2س +ص +2 =0 ------->(2)
بفرض م1 ميل المستقيم ل1 ، م2 ميل المستقيم ل2
م1 = -أ/ب = -1 ، م2 = -أ/ب = 2
ظاهـ = م1 - م2 / (1+ م1 م2 ) = (-1-2)/ 1+(-1)(2) = -3 / -1 = 3
ق(هـ) = 71،5 ْ

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

مرفق حل بسيط

http://www.arabruss.com/uploaded/828/1235229220.jpg

[سيد كامل]

http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1235235707.bmp

[سيد كامل]

http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1235235792.gif

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
1/ الحالة الخاصة:
ليكن \vec{U}(-1,1) شعاع توجيه المستقيم:({\Delta }_{1}): x+y+1=0
و\vec{V}(-1,-2) شعاع توجيه المستقيم: ({\Delta }_{2}): -2x+y+2=0
و لتكن \theta الزاوية المحصورة بين المستقيمين أي بين شعاعي توجيه المستقيمين إذا لدينا:
\vec{U}.\vec{V}=\left|\left|\vec{U} \right| \right|.\left|\left|\vec{V} \right| \right|cos\theta
\Rightarrow \theta =Arcos\left(\frac{\vec{U}.\vec{V}}{\left|\left|\ve c{U} \right| \right|.\left|\left|\vec{V} \right| \right|} \right)
حيث: \vec{U}.\vec{V}=(-1)(-1)+ (-2)(1)=-1 و\left|\left|\vec{U} \right| \right|.\left|\left|\vec{V} \right|=\sqrt{2}.\sqrt{5}=\sqrt{10}
و منه: \theta =Arcos\left(\frac{-1}{\sqrt{10}} \right)

[سيد كامل]

تعديل في بعض البيانات التي وردت في الحل الثاني
http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1235244079.gif

[سبحان الله]

أردت المشاركة فلم أستطع إلا إيجاد س و ص حيث :

س = صفر
ص = -1/3

ملاحظة : استخدمت المصفوفات في أيجادها و شكراً لمديرنا الفاضل

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

حدث خطأ بالحل السابق فى قيمة الحد المطلق بالمعادلة الأولى
وأدى ذلك إلى وجود خطأ فى تعيين نقطة تقاطع المستقيمان
ولكنه لم يؤثر فى قيمة الزاوية المطلوبة

http://www.arabruss.com/uploaded/828/1235258592.jpg

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
هذه طريقة أخرى لحل السؤال الأول تعتمد على استعمال التحويلات النقطية في المستوي المركب ( الدوران )
ليكن المستقيمان: ({\Delta }_{1}): x+y+1=0 و ({\Delta }_{2}): -2x+y+2=0
نفرض أن المستقيم ({\Delta }_{2}) ناتج عن تحويل نقطي للمستقيم ({\Delta }_{1})بالدوران الذي مركزه النقطة الصامدة (الثابتة)( نقطة تقاطع المستقيمين ) ذات اللاحقة {z}_{0}=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}i و زاويته \theta .
و نرمز لهذا الدوران بالرمز {Rot}_{({z}_{0},\theta }) و معرف كمايلي:
Rot(z)={z}^{'}:{z}^{'}=\lambda z+\alpha
لتكن النقطتان ذات اللاحقتان {z}_{1}=-i\in ({\Delta }_{1}) و {z}_{2}=-2i\in ({\Delta }_{2}) و منه يصبح لدينا:
Rot({z}_{0})={z}_{0}\Leftrightarrow \frac{1}{3}(1-4i)=\lambda \frac{1}{3}(1-4i)+\alpha ..............(1)
Rot({z}_{1})={z}_{2}\Leftrightarrow -2i=-\lambda i+\alpha ..............(2)
من (1) و (2) بالطرح ثم التبسيط نحصل على:\lambda =\frac{-1}{2}-\frac{3}{2}i
نكتب العدد المركب \lambda على الشكل المثلثي: \lambda =\left|\lambda \right|{e}^{i\theta }حيث: \left|\lambda \right|=\frac{\sqrt{10}}{2} و \theta =Arg(\lambda ) و المعرفة ب:
\left( cos\theta =\frac{-1}{\sqrt{10}} ; sin\theta =\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)\Rightarrow tan\theta =3
\Rightarrow \theta =Arctan(3)={71.562}^{o}

[أيمن ديان]

نوجد نقطة تقاطع المستقيمين وهي : ( 1\3 ، -4\3 )

نأخذ نقطة من أحد المستقيمين ، وليكن المستقيم الأول ، ولتكن النقطة ( 0 ، -1 )

نوجد بعدها عن المستقيم الآخر وهو = 1\ جذر5

نوجد أيضا ً بعد النقطة السابقة ( 0 ، -1 ) عن نقطة التقاطع ( 1\3 ، -4\3 )

البعد = (جذر2) \3

وفي النهاية : جا هـ = ( 1\جذر5 ) ÷ [ ( جذر2)\3 ]

جاهـ = 3\جذر10

هـ = 71.565

أو هـ = 108.435

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


أوجد الزاوية بين المستقيمين:
س + ص + 1 = 0 (1)
-2 س + ص + 2 = 0 (2)

الفكرة
بعمل إنتقال (إنسحاب) لنقطة الأصل
إلى نقطة تقاطع المستقيمان وَ ( 1\3 , -4\3)
معادلات التحويل منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سَ , وَ صَ
س= سَ + 1\3 & ص = صَ - 4\3
( 1) , (2)
تصبح المعادلتين ( 1) , (2) منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سَ , وَ صَ
على الصورة
سَ+صَ=0 (1)َ
-2سَ + صَ = 0 (2)َ

ثم إجراء دوران للمحاور بزاوية -45 بحيث ينطبق محور السينات على المستقيم الأول
معادلات التحويل منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سً , وَ صً
سً= (سً + صً)\جذر2 & صً = (-سً+صً)\جذر2
تصبح المعادلتين ( 1)َ , (2)َ منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سًَ, وَ صً
على الصورة
صً =0 (1)ً
-3سً - صً = 0 (2)ً

فيكون ميل المستقيم الثانى منسوب للإحداثيات الجديدة معبراً عن ظل الزاوية هـ التى يصنعها مع محور السينات الجديد ( المستقيم الأول)
ظا هـ = -3
قياس الزاوية المنفرجة المحصورة بينهما = 26 َ 108 درجة

http://www.arabruss.com/uploaded/828/1235395258.jpg

[mourad24000]

طريقة أخرى لحل السؤال الأول
لتكن لاحقة شعاع توجيه المستقيم الأول\vec{U}(-1,1) العدد المركب: u=-1+i
و لاحقة شعاع توجيه المستقيم الثاني \vec{V}(-1,-2) العدد المركب: v=-1-2i
و إذا كانت \theta هي الزاوية بين شعاعي توجبه المستقيمين فإن:
tan(\theta) =tan\left(\vec{U},\vec{V} \right)=\left|\frac{Im(\bar{u}.v)}{Re(\bar{u}.v)} \right|
حيث: \bar{u}.v=(-1-i)(-1-2i)=-1+3i و منه Re(\bar{u}.v)=-1 و Im(\bar{u}.v)=3 و بالتالي:
tan(\theta )=\left|\frac{3}{-1} \right|=3\Rightarrow \theta =Arctan(3)
[/SIZE]

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
حل سؤال المسألة العامة
لتكن معادلة المستقيمين:
({\Delta }_{1}): y={m}_{1}x+{k}_{1}; {m}_{1}=\frac{-a}{b}, {k}_{1}=\frac{-c}{b}
حيث: {m}_{1}=tan({\theta }_{1}) ميل المستقيم الأول
و ({\Delta }_{2}): y={m}_{2}x+{k}_{2}; {m}_{2}=\frac{-d}{e}, {k}_{2}=\frac{-f}{e}
حيث: {m}_{2}=tan({\theta }_{2}) ميل المستقيم الثاني
و لتكن \theta الزاويه بين المستقيمين
نميز 6 حالات لوضعيات تقاطع المستقيمين موضحة في المرفق التالي:
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1235415885.doc
إذا في الحالة العامة:
نضع: D=\left|arctan{m}_{1}-arctan{m}_{2} \right| فيكون قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين:
\theta =D if 0\leq D\prec 90 أو \theta =180-D if D\succ 90
و الله أعلم

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

هذا تصحيح مهم للحل
الوارد بالمشاركة الأولى بتاريخ 21\2\2009
المطلوب:
أوجد الزاوية بين المستقيمين:
س + ص + 1 = 0 (1)
-2 س + ص + 2 = 0 (2)
المستقيم الأول يوازى المستقيم الذى معادلته
س + ص -1 = 0 (3) الذى يتقاطع مع المستقيم الثانى فى النقطة ( 0,1)
وعلى ذلك فإن
الزاوية بين المستقيمين (1) &(2) = الزاوية بين المستقيمين (3) & (2)


مرفق حل بسيط

http://www.arabruss.com/uploaded/828/1235229220.jpg

[mathson]

الحل العام:

لنفرض أن (a,b) \longrightarrow a+bi (في مستوى أرجاند كما يسمونها بالعربية):

نظرية: إذا كان a,b,c نقاط في مستوى أرجاند وكان \theta = \angle acb فإنها تحقق (طبعا من الممكن أن تكون الزاوية موجبة أو سالبة حسب اتجاه الزاوية)

\frac {c-b}{|c-b|} = e^{i\theta} \frac{c-a}{|c-a|}

[بلقاسم أحمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للجميع وهذه مساهمة متواضعة
http://www.arabruss.com/uploaded/22333/1235555981.jpg

[uaemath]

الشكر الجزيل لكل المشاركين

النتيجة :

المركز الاول : mourad24000

5 نقاط

المركز الثاني : بلقاسم أحمد

4 نقاط

المركز الثالث : استاذ الرياضيات
3 نقاط

المركز الرابع : سيد كامل

نقطتان

نقطة واحدة لكل من

mathson
hesham
SmilER
أيمن ديان