مسابقة أجمل حل - س7

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

نعتذر عن التأخير في إعلان نتيجة السؤالين الخامس و السادس ، سنقوم بذلك

قريبا إن شاء الله

السؤال السابع

أوجد س ، ص ، ع التي تحقق المعادلة :

( س + ص + ع )2 = 5 س ص ع


حيث س ، ص ، ع أعداد صحيحة موجبة بحيث

http://www.arabruss.com/uploaded/1/q7.gif

المسألة العامة :

أوجد جميع الأعداد الطبيعية ن بحيث يكون للمعادلة :

( س + ص + ع )2 = ن س ص ع

حلول في الأعداد الصحيحة الموجبة

ملحوظة : حل المسألة العامة ليس إجباريا
======================================
Find x , y , z satifying the following equation

x + y + z)2 = 5xyz )

where x , y , z are positive integers such that

\Huge 1\leq x\leq y\leq z\leq 9

The general problem

Find all natural numbers n such that

x + y + z)2 = nxyz )

has positive integer solutions




NB: Solving the general problem is not obligatory

من سيعطينا أجمل حل ؟



سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

[mathson]

ممكن هنالك خطأ في السؤال ؟؟؟

لأن عدد الحلول للمسألة الأولى هائل ؟؟!!!

[أيمن ديان]

بالنسبة لي نتج فقط 6 حلول

وهي مكررة

ولكن طريقتي صعبة جدا ً وبانتظار إبداعات باقي الأعضاء

[mathson]

بالنسبة لي نتج فقط 6 حلول

وهي مكررة

ولكن طريقتي صعبة جدا ً وبانتظار إبداعات باقي الأعضاء

إذا فرضنا أن x , y , z \le 1000 نجد أن الحلول هي :

(1,4,5)
(1,5,4)
(1,5,9)
(1,9,5)
(1,9,20)
(1,20,9)
(1,20,49)
(1,49,20)
(1,49,125)
(1,125,49)
(1,125,324)
(1,324,125)
(1,324,845)
(1,845,324)
(4,1,5)
(4,5,1)
(4,5,81)
(4,81,5)
(5,1,4)
(5,1,9)
(5,4,1)
(5,4,81)
(5,9,1)
(5,9,196)
(5,81,4)
(5,196,9)
(9,1,5)
(9,1,20)
(9,5,1)
(9,5,196)
(9,20,1)
(9,20,841)
(9,196,5)
(9,841,20)
(20,1,9)
(20,1,49)
(20,9,1)
(20,9,841)
(20,49,1)
(20,841,9)
(49,1,20)
(49,1,125)
(49,20,1)
(49,125,1)
(81,4,5)
(81,5,4)
(125,1,49)
(125,1,324)
(125,49,1)
(125,324,1)
(196,5,9)
(196,9,5)
(324,1,125)
(324,1,845)
(324,125,1)
(324,845,1)
(841,9,20)
(841,20,9)
(845,1,324)
(845,324,1)

وعددها 60 بالضبط !!

[أيمن ديان]

ماشاء الله لا قوة إلا بالله

أحييك أخ ماث صن

لا أدري لما نتج معي الحلول الستة فقط

سأعيد الحسابات لأرى أين الخطأ

[uaemath]

تم تعديل السؤال ، شكرا لكما :clap::clap::clap:

[mathson]

لدينا

5س ص ع = (س + ص + ع)^2

لاحظ أن 5 يقسم الطرف الأيمن، إذا 5 يقسم الطرف الأيسر.

وبما أن 5 عدد أولي ، إذا 5 يقسم (س+ص+ع) (بدون تربيع).

إذا 25 يقسم (س+ص+ع)^2.

أي أن الطرف الأيمن يقبل القسمة على 25.

بالتالي أحد الأعداد س أو ص أو ع يقبل القسمة على 5.

الحالة 1 : لنفرض أن ع = 5 (لا يوجد عدد آخر في الفترة المعطاه).

وحيث أن 5 يقسم س + ص + ع نجد أن 5 يقسم س+ص أيضا... (لأن ع = 5)

بالتالي تصبح المعادلة:

25س ص = (س + ص + 5)^2

أو 25 س ص = (س+ص)^2 + 10 (س + ص) + 25

لاحظ أن (س + ص) <= 4 + 4 <= 8 ، (س + ص) يقبل القسمة على 5.

إذا (س+ص) = 5..

نعوض و نجد 25 س ص = 25 + 50 + 25 = 100 ،، س ص = 20 ،، س = 1 ، ص = 4

والحل الناتج هو (1 ، 4 ، 5)...

الحالة 2: ص = 5.

بنفس الطريقة نجد أن الحل الوحيد هو (1 ، 5 ، 9)

الحالة 3: س = 5

ومنه نجد أنه لا يوجد حل.

مجموعة الحل النهائية هي{ (1 ، 4 ، 5) ، (1 ، 5 ، 9)}

[بلقاسم أحمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
محاولة
http://www.arabruss.com/uploaded/22333/1235822612.jpg

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.arabruss.com/uploaded/828/1235844897.jpg

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

يوجد خطأن مطبعيان بالمرفق السابق


خطأ ببداية السطر السادس من الحل العام بوضع n بدلاً من العدد 5

خطأ بالسطر قبل الأخير ( z أكبر من أو تساوى y أكبر من أو تساوى x)


أما شرح مفهوم أن المعادلة المعطاة متماثلة لجميع المتغيرات مع إهمال شرط ترتيبهم تنازليا مثلاً
فهذا يعتى أنه إذا كانت أحد الحلول ( 9 , 5 , 1) مثلاً فهذا يعنى أن
(9, 1 , 5) & ( 5 , 9 , 1) & ( 5 ,1 , 9 ) & ( 1 , 5 , 9) &( 1 , 9 ,5) أيضا حلول للمعادلة المعطاة
ولكن إذا أعتير ترتيب الأعداد تنازلياً مثلا فتهمل الحلول االخمسة الأخيرة

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
هذه محاولة
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1235864342.jpg

[سيد كامل]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1235940968.gif

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
بالنسبة للمسألة العامة و جدت أنه في حالة n أولي توجد قيمة واحدة فقط تحقق المعادلة و هي n=5.
سأدرج الحل لاحقا إن شاء الله

[استاذ الرياضيات]

مرحباً بالأخوة الكرام
الحل العام السابق شابه بعض الأخطاء المطبعية والقصور
و هذه محاولة متأنية للحل العام للمسألة المعطاة
أوجد جميع الأعداد الطبيعية ن بحيث يكون للمعادلة :

( س + ص + ع )2 = ن س ص ع

حلول في الأعداد الصحيحة الموجبة
الحل
بوضع س + ص+ع = ل & س ص ع = م
ن = ل2 \ م
بسهولة يمكن أستنتاج أن :
ن عدد طبيعى من 1: 9 بإستثناء العدد 7
( إثبات ذلك بالصورة المرفقة)


http://www.arabruss.com/uploaded/828/1236031147.jpg

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
مرحبا بالأخوة الكرام
هذه محاولة بسيطة جدا فيما يخص المسألة العامة
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1236209041.jpg

[nawfal]

أريد المشاركة في هذه المسابقة

لدي مشكلة اريد كتابة رمز الامن لاكني لا اعرف كيف ساعدوني ارجوكم

:tme:wwoooooooooowww

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً أخى الكريم

لدي مشكلة اريد كتابة رمز الامن لاكني لا اعرف كيف ساعدوني ارجوكم
يوجد بالمنتدى شرح لكيفية الكتابه فيه
فى أول موضوع بالصفحة العامة
وتجده على الرابط الأتى

http://www.uaemath.com/ar/aforum/forumdisplay.php?f=91

[uaemath]

الشكر الجزيل لكل المشاركين

النتيجة :

المركز الاول : mathson

5 نقاط

المركز الثاني : استاذ الرياضيات


4 نقاط

المركز الثالث : سيد كامل
3 نقاط

المركز الرابع : بلقاسم أحمد

نقطتان

نقطة واحدة لكل من

mourad24000