مسابقة أجمل حل - س 8

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

السؤال الثامن

أوجد معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات عند النقطة ( 0 ، 3 ) و تقطع محور السينات بنقطتين إحداهما ( 9 ، 0 )


المسألة العامة :

أوجد معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات عند النقطة ( 0 ، ب ) و تقطع محور السينات بنقطتين إحداهما ( أ ، 0 )


ملحوظة : حل المسألة العامة ليس إجباريا
======================================
Find the equation of the circle which is tangent to the y- axis at the point
( 3 , 0 )
and cuts the x - axis in two points , one of them is
( 0 , 9 )

The general problem

Find the equation of the circle which is tangent to the y- axis at the point
( 0 , b)
and cuts the x - axis in two points , one of them is
( 0 , a )






NB: Solving the general problem is not obligatory

من سيعطينا أجمل حل ؟





http://www.arabruss.com/uploaded/1/ajmal7.gif

سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

[سيد كامل]

http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1236371455.gif

[سيد كامل]

http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1236374585.gif

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

بفرض أن النقطة د(0 , ب) , هـ ( أ , 0)
حيث أن الدائرة تمس محور الصادات عند النقطة د ( 0 , ب )
نستنتج أن مركز الدائرة هونقطة مثل م ( ك , ب) حيث نصف قطر الدائرة نق= | ك|
منتصف القطعة د هـ هو ن ( أ\2 , ب\2)
ميل القطعة د هـ = -ب\أ
وحيث أن القطعة م ن تنصف الوتر د هـ
نستنتج أن م ن عمودية على الوتر د هـ
فيكون ميل القطعة م ن = ( أ\ب) = (ب - ب\2) ÷ (ك - أ\2)
ومنها نجد أن ك = (أ2 +ب2) \ 2أ
وبالتالى تصبح معادلة الدائرة المطلوبة
بدلالة ب & ك = (أ2 +ب2) \ 2أ على الصورة
( س - ك )2 + ( ص - ب)2 = ك2


وفى حالتنا الخاصة أ = 9 & ب = 3
نستنتج أن ك = (أ2 + ب2) ÷ 2أ = (81 + 9) ÷ 18 = 5
فتكون معادلة الدائرة المطلوبة هى
(س - 5 )2 + ( ص - 3 )2 = 25

شكرا للجميع

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

بفرض أن النقطة د(0 , ب) , هـ ( أ , 0)
حيث أن الدائرة تمس محور الصادات عند النقطة د ( 0 , ب )
نستنتج أن مركز الدائرة هونقطة مثل م ( ك , ب) حيث نصف قطر الدائرة نق= | ك|



يمكن إكمال الحل العام كما يلى:
م د = م هـ (أنصاف أقطار )
(م د )2 = ( م هـ)2 بإستخدام قانون البعد بين نقطتان
(ك - أ)2 + ب2 = ك2
أ2 - 2 أ ك + ب2 = 0
ومنها نجد أن ك = (أ2 +ب2) \ 2أ
وبالتالى تصبح معادلة الدائرة المطلوبة
بدلالة ب & ك = (أ2 +ب2) \ 2أ على الصورة
( س - ك )2 + ( ص - ب)2 = ك2

[hesham]

بسم الله الرحمن الرحيم
بفرض مركز الدائره هو ( ء،هـ) : بما أن الدائرة تمس محور الصادات---> نق =|ء|---> نق^2 = ء^2
-----> (ء - 0)^2 + (هـ - 3)^2 = ء^2 ،،،،،،،،،، (ء -9)^2 + هـ -0 )^2 = ء^2
-----> ء^2 +هـ^2 - 6ء +9 = ء^2 ،،،،،،،،،، ء^2 -18ء +81 +هـ^2 =ء^2
------> هـ^2- 6ء+9 =0 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، ،،، 18ء =هـ^2 + 81 -----> *
------> ( هـ - 3)^2 = 0 ----> هـ =3 بالتعويض في * ---> 18ء= 90 ---> ء =5
معادلة الدائرة هي ( س - 5)^2 +(ص - 3)^2 = 25

[mohey]

http://www.arabruss.com/uploaded/24970/1236422842.bmp

[عبد الحميد السيد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
طريقة هندسية
http://www.arabruss.com/uploaded/24478/1236432793.jpg

طريقة تحليلية

http://www.arabruss.com/uploaded/24478/1236432855.jpg

الحالة العامة

http://www.arabruss.com/uploaded/24478/1236434357.jpg

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام
بالإضافة إلى الحلول الجميلة التى قدمها الأخوة الكرام
أضيف إليها أربع أفكار جديدة للحل العام
( بالإضافة إلى فكرتين سابقتين بالمشاركات السابقة )
مرفق نموذج لهذه الأفكار بالصورة الأتية:

http://www.arabruss.com/uploaded/828/1236438337.jpg

[mathson]

محاولي:

http://www.arabruss.com/uploaded/16781/1236445684.gif

[أعجوبه]

ما شاء الله

بوركت جهودكم

[بلقاسم أحمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للجميع على هذه الحلول وهذه محاولة متأخرة
http://www.arabruss.com/uploaded/22333/1236640434.jpg
وبنفس الفكرة نصل إلى نتيجة الحالة العامة
http://www.arabruss.com/uploaded/22333/1236641775.jpg

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
شكرا للاخوة الأفاضل على الحلول الرائعة و هذه طريقة أخرى للحل
الحالة الخاصة
لتكن (C) الدائرة التي معادلتها:
C(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-2a x-2by+c=0
نعلم أن معادلة مماس الدائرة في النقطة ({x}_{0},{y}_{0}) يعطى بالعلاقة التالية:
(x-{x}_{0})({x}_{0}-a)+(y-{y}_{0})({y}_{0}-b)=0
أو: \frac{1}{2}\left( (x-{x}_{0})\frac{d}{dx}C({x}_{0},{y}_{0})\right)+\lef t( \frac{1}{2}(y-{y}_{0})\frac{d}{dy}C({x}_{0},{y}_{0})\right)=0
إذا معادلة مماس الدائرة عند النقطة: (0,3)
\frac{d}{dx}C(0,3)=-2a و \frac{d}{dy}C(0,3)=6-2b و منه نجد معادلة المماس:
-2a+(y-3)(3-b)=0 وبماأن المستقيم (x=0) ( محور الصادات ) مماس للدائرة في النقطة (0,3) نجد:
-a(0)+(y-3)(3-b)=0\Rightarrow (y=0)\vee (b=3)\Rightarrow b=3
و من جهة أخرى لدينا:
(0,3)\in C(x,y)\Leftrightarrow 9-6b+c=0\Leftrightarrow c=9
(9,0)\in C(x,y)\Leftrightarrow 81-18a+c=0\Leftrightarrow a=5
{x}^{2}+{y}^{2}-10x-6y+9=0\Leftrightarrow {(x-5)}^{2}-25+{(y-3)}^{2}-9=0
\Leftrightarrow {(x-5)}^{2}+{(y-3)}^{2}=25
و هي معادلة دائرة مركزها (5,3) و نصف قطرها R=5

[mourad24000]

هناك خطأ في كتابة معادلة المماس و الصحيح هو
معادلة مماس الدائرة عند النقطة (0,3) هي:
-ax+(y-3)(3-b)=0 و كذلك تصحيح عند
(y=3)\vee (b=3)\Rightarrow b=3
فمعذرة على هذا الخطأ الغير مقصود

[mourad24000]

السلام عليكم
طريقة أخرى لحل المسألة باستعمال الأعداد المركبة
الحالة الخاصة
معادلة الدائرة في المستوي المركب: (C): z\bar{z}-\bar{{z}_{0}}z-{z}_{0}\bar{z}+\beta =0
حيث: z=x+iy و M({z}_{0}) مركز الدائرة ذات اللاحقة: {z}_{0}=x+iy=Re({z}_{0})+iIm({z}_{0})
و نصف قطر هذه الدائرة:
R=\sqrt{{\left|{z}_{0} \right|}^{2}-\beta }
و لتكن النقط: A({z}_{A})/{z}_{A}=9 و B({z}_{B})/{z}_{B}=3i
لدينا:
{z}_{A}\in (C)\Leftrightarrow 81-18\left( \frac{{z}_{0}+\bar{{z}_{0}}}{2}\right)+\beta =0
\Leftrightarrow 81-18x+\beta =0..................(1)
{z}_{B}\in (C)\Leftrightarrow 9-6\left( \frac{{z}_{0}-\bar{{z}_{0}}}{2i}\right)+\beta =0
\Leftrightarrow 9-6y+\beta =0................(2)
بعد النقطة M({z}_{0}) عن محور الصادات (x=0) هو : d=\left|MB \right|=\left| \right|=Re({z}_{0})=x
و من جهة أخرى:
{\left|{z}_{B}-{z}_{M} \right|}^{2}={x}^{2}
\Leftrightarrow {x}^{2}+{(3-y)}^{2}={x}^{2}\Leftrightarrow y=3
إذا مركز الدائرة: {z}_{0}=5+3i و نصف قطرها: R=\sqrt{(25+9)-9}=5
و منه معادلة الدائرة في المستوي المركب هي:
z\bar{z}-(5-3i)z-(5+3i)\bar{z}+9=0
و يمكن كتابة معادلة الدائرة في المستوي الحقيقي كمايلي:
بوضع:x=\frac{z+\bar{z}}{2} و y=\frac{z-\bar{z}}{2i} نجد: {(x-5)}^{2}+{(y-3)}^{2}=25
الحالة العامة
بنفس الطريقة السابقة نجد مركز الدائرة هو العدد المركب: {z}_{0}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a}+ib و \beta ={b}^{2} و نصف قطر الدائرة: R=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a} مع: a\neq 0.

[عبد الحفيظ]

المركز (س ، 3) ، نق = س
المسافة بين النقطتين (9 ،0) ، ( س،3) تساوي س

س = ( (9-س)^2 + (0-3)^2 )^0.5

س^2 = 81 - 18 س + س^2 + 9

0 = 90 - 18 س
س = 5 ، نق = 5 ، المركز (5 ، 3)

معادلة الدائرة (س-5)^2 + (س-3 )^2 = 25