مسابقة أجمل حل - س 9

[uaemath]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

السؤال التاسع

لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د

حيث أ ، ب ، جـ ، د أعداد صحيحة

و د(0) = 3 و د(1) = 5 أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود ذات معاملات تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة



ملحوظة : حل المسألة العامة ليس إجباريا
======================================
Let p(x) = ax3 + bx2 +cx + d
where a ,b,c and d are integers
If p(0) = 3 and p(1) = 5
then show that
p(x) = 0 has no integral solutions

The general problem

Let p(x) be a polynomial with integral coefficients and p(0) , p(1) are odd
then show that

p(x) = 0 has no integral solutions





NB: Solving the general problem is not obligatory

من سيعطينا أجمل حل ؟







سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

[بلقاسم أحمد]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
محاولة
http://www.arabruss.com/uploaded/22333/1236976109.jpg

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام

المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل:

بفرض أن د(س) كثيرة حدود من درجة ن>1 تحقق الشرطان
د(0) = عدد فردى
د(1) = عدد فردى
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح

نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة ( ن-1) مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س)

الأن
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى
وهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى
وهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحالة الخاصة
لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د

و د(0) = 3 و د(1) = 5
أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة الثانية مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س)

الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى
وهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى
وهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

شكرا للجميع

[mathson]

بالفعل حلول رائعة.
ولدي حل طويل أيضا، لكنه بالفعل جميل أيضا !!

لاحظ أن d=3, a+b+c+d = 5 \Rightarrow a+b+c = 2.
لكن نحن نعلم أن 5=a+b+c+d = -b/a \Rightarrow b = -5a و منه نجد أن c = 2+4a.

1 - إذا كان a \equiv 1 \pmod 3 فإن b \equiv 2\pmod 3 و c \equiv 0\pmod 3 وهنا تناقض لأن a+b+c = 2.

2- إذا كان a \equiv 2 \pmod 3، بنفس الطريقة سنصل إلى تناقض.

إذا: a \equiv 0 \pmod 3، ومنه b \equiv 0\pmod 3 و c \equiv 2 \pmod 3، بالتالي فإن أي حل للمعادلة يجب أن يقبل القسمة على 3.

لنفرض أن \frac{\alpha}{\beta} حل للمعادلة السابقة حيث \gcd(\alpha , \beta) = 1 , \alpha , \beta \in Z، إذا يجب أن يكون \alpha | 3 , \beta | a، وحيث أن \frac{\alpha}{\beta} \in Z، بالتالي الحلول المحتملة هي \frac{\alpha}{\beta} = 0, 1 , -1، وحيث أنها كلها مرفوضة لأنها لا تقبل القسمة على 3 (أما 0 فإنه من معطى المسألة f(0) = 3).

بالتالي لا حل صحيح للمسألة.

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
هذه محاولة لربما طويلة لكنها افكار ذاتية
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1237072374.jpg

[سيد كامل]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
http://www.arabruss.com/uploaded/8570/1237238954.gif

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
مرحبا بالجميع
هذه محاولة لحل المسألة العامة أرجو أن تفيدكم
لتكن {a}_{0},{a}_{1},...,{a}_{n} المعاملات الصحيحة لكثيرة الحدود إذا لدينا:
P(0)={a}_{0} و P(1)={a}_{0}+{a}_{1}+...+{a}_{n}
نفرض أن k حل صحيح لكثيرة الحدود أي P(k)=0
و هنا نناقش حالتين:
1/ إذا كان k زوجي أي: k=2m فإن:
P(2m)={a}_{0}+2m({a}_{1}+...+{(2m)}^{n-1}{a}_{n})
أي:
P(2m)=P(0)+2m\alpha \Rightarrow P(2m)\equiv P(0)\left[2 \right]
و هذا يناقض الفرض كون k=2m جذر صحيح لكثيرة الحدود,
2/ إذا كان k فردي أي: k=2m+1 فإن:
P(2m+1)=P(1)+2m\beta \Rightarrow P(2m+1)\equiv P(1)\left[2 \right]
و هذا يناقض الفرض كون k=2m+1 جذر صحيح لكثيرة الحدود السابقة.
في كلا الحالتين نجد أن كثيرة الحدود لا تقبل جذور صحيحة.

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

يعتمد البرهان السابق للحل العام والخاص
المطروح فى مشاركتى الأولى على الحقائق الأتية
1- إذا كانت لدينا كثيرة حدود مثل د (س) من الدرجة ن >0
ذات معاملات صحيحة نستنتج أنه
لأى عدد صحيح مثل م فإن د (م) هى أيضاً عدد صحيح

2- وإذا كان (س- م) عامل للدالة د (س) حيث م عدد صحيح
فإننا يمكن إيجاد كثيرة حدود من الدرجة (ن - 1) مثل ر(س) ذات معاملات صحيحة أيضاً بحيث
د(س) = ( س - م ) × ر(س) ..........(1)
ولإثبات ذلك
بفرض أن
مصفوفة المعاملات د(س) هى:
( أن , أن-1 , ... , أ1 , أ0) جميعها أعداد صحيحة
مصفوفة المعاملات ر(س) هى:
(بن-1 ,بن-2 , ... , ب1 , ب0)
وبفك الطرف الأيسر فى (1) ومقارنة المعاملات نجد أن
أن = بن-1
وهذا يقتضى أن بن-1 عدد صحيح

أن-1 = - م × بن-1+ بن-2
وهذا يقتضى أن بن-2 عدد صحيح
وهكذا
.....................
...................

أ0= - م × ب0
وهذا يقتضى أن ب0 عدد صحيح
فتكون ر(س) هى أيضاً كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة ويكون
لأى عدد صحيح مثل م فإن ر(م) هى أيضاً عدد صحيح

الحل العام
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

والحل الخاص
الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

[استاذ الرياضيات]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام
هذه صورة منقحة للحل ومضاف إليها بعض التوضيحات اللازمة باللون الأحمر لتعم الفائدة



المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل:

بفرض أن د(س) كثيرة حدود من درجة ن>1 ذات معاملات صحيحة تحقق الشرطان د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية
ملاحظة 1:( ن>1 خروجاً من الخلاف هل الدالة الثابتة كثيرة حدود أم لا )

بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة ( ن-1) مثل ر(س) تحقق الشرط

د(س) = (س - م) × ر(س) ......(1)

ملاحظة 2: بالنظر فى المتطابقة (1) فى حالة س عدد صحيح فإن د(س) عدد صحيح والعامل ( س - م) عدد صحيح
وهذا يقتضى أن ر(س) عدد صحيح أيضاً
الأن
بالتعويض فى (1) عن س = 0
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
بالتعويض فى (1) عن س = 1

د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة


الحالة الخاصة
لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة حيث د(0) = 3 و د(1) = 5
أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة الثانية مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س) ......(2)
بالنظر فى المتطابقة (2) فى حالة س عدد صحيح فإن د(س) عدد صحيح والعامل ( س - م) عدد صحيح
وهذا يقتضى أن ر(س) عدد صحيح أيضاً

الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيحفهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

شكرا للجميع