تمرين إحتمالات 13

[mourad24000]

http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1235078149.gif

تمرين إحتمالات 13
لتكن المعادلة التفاضلية التالية:
{y}^{''}+2{y}^{'}=0.............(1)
ليكن X متغير عشوائي حقيقي، حيث تابع (دالة) توزيعه F له الخواص التالية:
أ/ F مستمر (متصل) على \mathbb{R}.
ب/ F ينعدم من أجل x\leq 0.
ج/ F حل للمعادلة التفاضلية (1) من أجل x>0.

1/ حدد تابع التوزيع F ثم أوجد الوسيط (Mediane) لـ X ؟
2/ حدد تابع الكثافة لـ X ثم أوجد المنوال (Mode) لـ X ؟

ننتظر أفكاركم و مشاركاتكم
دمتم بخير

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
هذا حل التمرين 13
المعادلة التفاضلية (1) من الدرجة الأولى و خطية و متجانسة. من المعادلة المميزة r(r+2)=0 نجد الحل العام للمعادلة التفاضلية على الشكل:\phi :x\rightarrow A+B{e}^{-2x}، \vee A,\vee B..
يصبح لدينا: F(x)=0 من أجل x\leq 0 و F(x)=A+B{e}^{-2x} من أجل x>0.
أ/ F مستمر عند 0 أي:
لدينا: F(0)=0=\lim_{x\rightarrow {0}_{-}}F(x) يجب أن يكون أيضا:
F(0)=0=\lim_{x\rightarrow {0}_{+}}F(x)=A+B
ب/ تابع التوزيع F متزايد تماما أي: من أجل x>0: {F}^{'}(x)=2A{e}^{-2x}\Rightarrow A>0.
ج/ من جهة أخرى لدينا:
\lim_{x\rightarrow +00}F(x)=1-0
\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}\left(A-A{e}^{-2x} \right)=1
\Rightarrow A=1.
1/ مماسبق نجد تابع التوزيع معرف كمايلي:
F(x)=0 من أجل x\leq 0.
F(x)=1-{e}^{-2x} من أجل x>0.
الوسيط لـ X : F(x)=\frac{1}{2}\Rightarrow {e}^{-2x}=\frac{1}{2}
\Rightarrow x=\frac{1}{2}ln(2) و منه قيمة الوسيط هي: x=\frac{1}{2}ln(2).
2/ باشتقاق تابع التوزيع نجد تابع الكثافة و المعرف كمايلي:
f(x)=0 من أجل x\leq 0
f(x)=2{e}^{-2x} من أجل x>0.
المنوال هو :X=0
دمتم سالمين و بألف خير