طلب : ليكن p عددا أوليا .. بين !!!

[ايمان94]

بسم الله الرحمن الرحيم عندي تمرينين.
الله يبارك فيكم ساعدوني.:unknown:
-تمرين1:
ليكن p عددا اوليا بحيث p>=5
بين : 24I p²-1
-تمرين2:
ليكن n عدد صحيح طبيعي.
حدد جميع الاعداد الاولية التي تكتب على شكل 2²n+5
وشكرا.:wave:

[ايمان94]

#ff0000

[mathson]

بسم الله الرحمن الرحيم عندي تمرينين.
الله يبارك فيكم ساعدوني.:unknown:
-تمرين1:
ليكن p عددا اوليا بحيث p>=5
بين : 24I p²-1
-تمرين2:
ليكن n عدد صحيح طبيعي.
حدد جميع الاعداد الاولية التي تكتب على شكل 2²n+5
وشكرا.:wave:

تمرين 1: حاولي أن تبرهني أن العدد p^2-1 يقبل القسمة على 8، 3 في آن واحد.
تمرين 2: هل يمكن إثبات أن العدد يقبل القسمة على 3 دائما ؟؟ :d

[ايمان94]

بسم الله الرحمن الرحيم عندي تمرينين.
الله يبارك فيكم ساعدوني.:unknown:
-تمرين1:
ليكن p عددا اوليا بحيث p>=5
بين : 24I p²-1
-تمرين2:
ليكن n عدد صحيح طبيعي.
حدد جميع الاعداد الاولية التي تكتب على شكل 2²n+5
وشكرا.:wave:

بالنسبة للتمرين الثاني العدد الوحيد الذي يكتب على ذلك الشكل هو 7 اذا كانت n=0 لكنني لا اعرف كيف يمكنني تبيين ذلك رياضيا :unknown:

[mathson]

بالنسبة للتمرين الثاني العدد الوحيد الذي يكتب على ذلك الشكل هو 7 اذا كانت n=0 لكنني لا اعرف كيف يمكنني تبيين ذلك رياضيا :unknown:

لم أكن أعلم أنكم تعتبرون الصفر عدد طبيعي. المهم، يمكن إثبات أن العدد S_n = 2^{2^n}+5 يقبل القسمة على 3 إذا كان n\ge 1. ولبرهنة هذه نعلم أن \phi (3) = 2، بالتالي:

S_n = 2^{2^n} + 5 = \left(2^2\right)^{2^{n-1}}+5 \equiv 1+5 \equiv 0 \pmod 3

وحيث أن S_n \g 3 لكل n \ge 1 ينتج أن S_n, n\ge 1 عدد غير أولي لأنه يقبل القسمة على 3.

[mathson]

أما عن حل المسألة الأولى: لاحظ أن S_p=p^2-1 = (p-1)(p+1)، لاحظ أيضا أن p عدد لا يقبل القسمة على 3 لأنه أولي أكبر من 3، ولنحن نعلم أن أحد الأعداد p-1,p,p+1 يقبل القسمة على 3، بالتالي فإن (p-1)(p+1) يقبل القسمة على 3...........(1)
أيضا لاحظ أن (p-1),(p+1) عددان زوجيان متتاليان، بالتالي فإن أحدهما يقبل القسمة على 4، أما الآخر فيقبل القسمة على 2، وهذا يعني أن (p-1)(p+1) يقبل القسمة على 8 ........(2)

من (1)، (2) نجد أن S_p يقبل القسمة على 24 دائما.