متفاوتة مغربية اخرى

[ياسين]

هده متفاوتة من اولمبياد 27 مارس 2009 لمستوى السنة التانية بكلوريا ( وهي السنة الختامية )



ليكن x و y عددين حقيقين موجبين .

اتبث ان : \frac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \frac{2}{x+y+2}

[mathson]

هده متفاوتة من اولمبياد 27 مارس 2009 لمستوى السنة التانية بكلوريا ( وهي السنة الختامية )



ليكن x و y عددين حقيقين موجبين .

اتبث ان : \frac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \frac{2}{x+y+2}

أولا نعلم أن a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac،
بوضع a^2 = x, b^2 = y, c^2 = 1 نجد أن المتفاوتة تصبح:
x + y + 1 \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt{xy}.
الآن بإضافة 1 لكلا الطرفين نجد أن
x+y+2 \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt{xy} + 1 = (\sqrt x+1)(\sqrt y+1)
بقلب الطرفين ثم ضرب كل منهما في 2 نجد:
\frac 2{x+y+1} \le \frac{2}{(\sqrt x+1)(\sqrt y+1)}
ونعلم من AM-GM أن:
\frac {1}{(\sqrt x+1)^2} + \frac{1}{(\sqrt y+1)^2} \ge \frac{2}{(\sqrt x+1)(\sqrt y+1)} \ge \frac 2{x+y+2}

وهو المطلوب.

[ياسين]

السلام عليكم

حل صحيح اخي ، بارك الله فيك ، و هو نفس الحل الدي كتبته يوم الاولمبياد

[omar]

السلام عليكم .

حل آخر لهذه المتفاوتة :

باستعمال متفاوتة Cauchy-schwarz

لدينا : \left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt y + 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt y + 1} \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 1} \right)^2} = 4

أي : \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt y + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{4}{{x + y + 2\sqrt x + 2\sqrt y + 2}}

ولنسمي هذه المتفاوتة الأخيرة (1)

الآن باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لدينا :

2\sqrt x \le x + 1 و 2\sqrt y \le y + 1

وبجمع هاتين المتفاوتتين وإضافة x+y+2 لكل طرف نجد :

x + y + 2\sqrt x + 2\sqrt y + 2 \le 2x + 2y + 4

ومنه :

\frac{4}{{x + y + 2\sqrt x + 2\sqrt y + 2}} \ge \frac{4}{{2x + 2y + 4}}

أي : \frac{4}{{x + y + 2\sqrt x + 2\sqrt y + 2}} \ge \frac{2}{{x + y + 2}}

ولنسمي هذه المتفاوتة الأخيرة (2)

من المتفاوتتين (1) و (2) نصل إلى النتيجة المطلوبة .

[ياسين]

السلام عليكم

شكرا لك اخي عمر على الحل الجميل

سؤال اخر في هدا التمرين

حدد حالة التساوي ؟

[mathson]

السلام عليكم

شكرا لك اخي عمر على الحل الجميل

سؤال اخر في هدا التمرين

حدد حالة التساوي ؟

عندما x=y=1، والله أعلم.