متباينة جميلة

[mathson]

إذا كانت a,b,c أعداد حقيقية موجبة مجموعها 3 أثبت أن:

\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c \ge ab + bc + ac

[ياسين]

لدينا حسب متفاوتة الوسط الحسابي و الهندسي :

a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a} \geq 3a

b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b} \geq 3a

c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c} \geq 3a

نجمع المتفاوتات طرف بطرف فنحصل على :

a^2+b^2+c^2 +2(\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 3(a+b+c)

و منه

a^2+b^2+c^2+ 2(\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a+b+c)^2

تكافئ

\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}

تكافئ

\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \frac{2(ab+bc+ca)}{2}


و بالتالي

\sqrt{a }+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ca