قيمة دنوية

[jockereda]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ،
ليكن a و b من \huge \left] {0, + \infty } \right[حدد القيمة الدنوية للمجموع :
\huge \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)^k + \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)^k
حيث \large k \in N

[mohey]

http://www.arabruss.com/uploaded/24970/1238734309.jpg

[mathson]

بارك الله فيك أستاذنا محي، لكن ألا ترى أن القيم دائما موجبة؟

أظن أن الإجابة هي : \left(1+\frac ab \right)^k + \left(1+\frac ba \right)^k \ge \left(2\sqrt{\frac ab} \right)^k + \left(2\sqrt{\frac ba} \right)^k \ge 2\sqrt{\left(2\sqrt{\frac ab} \right)^k\left(2\sqrt{\frac ba} \right)^k} = 2\sqrt{2^{2k}}=2^{k+1}.

[ياسين]

السلام عليكم

حلك صحيح اخي mathson

[mathson]

http://www.arabruss.com/uploaded/24970/1238734309.jpg

أستاذ محي الدين،

لو عممنا المسألة و فرضنا أن الأعداد تنتمي للفترة (-\infty,+\infty)، (عدا الصفر طبعا) بالتالي لكانت أصغر قيمة هي -\infty لأن (k=1):

\lim_{a\to -\infty,b\to 0} \left(1+\frac ab \right)^1 + \left(1 + \frac ba \right)^1 = (1-\infty) + 1 = -\infty

(إن صح التعبير، لأنه لا يجوز جمع أعداد غير معرفة :d).