ياسين
04-04-2009, 03:57 AM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا
اثبت ان :
\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\ge \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})
mathson
04-04-2009, 11:52 AM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا
اثبت ان :
\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\ge \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})
شكلها الخارجي يبعث على صعوبتها، لكنها ليست صعبة، فهي تعتمد على مبدأ متباينة جينسن.
من متباينة جينسن نجد أن:
a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\le \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}
يمكن تحويل المتباينة للشكل:
(a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} }\ge \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})
ولكن من متباينة جينسن أيضا نجد أن:
\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\ge (a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}
ومنه ينتج المطلوب.