المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : متفاوتة ممكن صعبة


ياسين
04-04-2009, 03:57 AM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا

اثبت ان :

\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\ge \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})

mathson
04-04-2009, 11:52 AM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

ليكن a و b و c اعداد حقيقية موجبة قطعا

اثبت ان :

\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\ge \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})

شكلها الخارجي يبعث على صعوبتها، لكنها ليست صعبة، فهي تعتمد على مبدأ متباينة جينسن.

من متباينة جينسن نجد أن:

a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\le \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}

يمكن تحويل المتباينة للشكل:

(a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} }\ge \frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)} (a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b})

ولكن من متباينة جينسن أيضا نجد أن:

\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}\ge (a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}

ومنه ينتج المطلوب.