أوجد د(2009) (ألمبياد موريتانيا)

[mathson]

إذا كانت f:N\to N تحقق الشرطين:
1) لكل n\ge 0 فإن f(n+1) > f(n).
2) لكل m,n \ge 0 فإن f(n+f(m)) = f(n)+m+1 .

أوجد قيمة f(2009).

[omar]

مسألة بسيطة جدا ...

ننتظر مشاركات الشباب .

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
الدوال التي تحقق الشروط السابقة هي الدوال من الشكل: f(n)=n+1.
و هذه خطوات الحل
من الشرط (1) نجد (البرهان بالتراجع)، من أجل n\in \mathbb{N}، f(n)\geq f(0)+n.
من الشرط (2) بوضع: n=kf(0),m=0 نجد: f((k+1)f(0))=f(kf(0))+1
و باستعمال البرهان بالتراجع نبين أن:
f(kf(0))=f(0)+k............(3)
من (1) نجد: f(0)+k=f(kf(0))\geq f(0)+kf(0)
\Rightarrow kf(0)\leq k\Rightarrow f(0)\leq 1
و منه f(0)=1 (لأن f(0)=0 تؤدي إلى تناقض)
و منه بالتعويض في العلاقة (3) نجد:f(k)=k+1
f(2009)=2009+1=2010

[zouhirkas]

يمكن إستعمالها بدون ترجع