متفاوتة

[omar]

السلام عليكم

x وy وz أعداد حقيقية موجبة قطعا.

اثبت أن :

\frac{x}{{x + \sqrt {(x + y)(x + z)} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {(y + z)(y + x)} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {(z + x)(z + y)} }} \le 1

[mathson]

السلام عليكم

x وy وz أعداد حقيقية موجبة قطعا.

اثبت أن :

\frac{x}{{x + \sqrt {(x + y)(x + z)} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {(y + z)(y + x)} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {(z + x)(z + y)} }} \le 1

متباينة جميلة، وقد وصلت إلى الحل. لكن نترك فرصة للبقية.

[omar]

متباينة جميلة، وقد وصلت إلى الحل. لكن نترك فرصة للبقية.

بهذه السرعة !
Un grand bravo
تحياتي لك .

[mathson]

بهذه السرعة !
Un grand bravo
تحياتي لك .

هذا من باب الصدفة ليس إلا، لأنني مبدأ في هذا العلم.
والحل كالتالي: بعد استخدام متفاوتة Huygens (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showpost.php?p=74258&postcount=10) نجد أن:

\sqrt{(x+y)(x+z)} \ge x + \sqrt{xy}

الآن لدينا :

\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \le \sum \frac{x}{2x+\sqrt{yz}}

بوضع a=\frac{\sqrt{yz}}{x},b=\frac{\sqrt{xy}}{z},c=\fra c{\sqrt{xz}}{y} (حاصل ضربهم = 1) تصبح المتاينة على الشكل:

\sum \frac{1}{2+a} \le 1

وحيث أنها صحيحة لأنها تكافئ ab + bc + ac \ge 3 .

[ياسين]

السلام عليكم

ما شاء الله عليك اخي ،حلك جميل و انيق انت ايضا اتعلم منك الكتير كل يوم ، شكرا لك

شكرا لك اخي عمر على المتفاوتة الجميلة

[omar]

هذا من باب الصدفة ليس إلا، لأنني مبدأ في هذا العلم.
والحل كالتالي: بعد استخدام متفاوتة Huygens (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showpost.php?p=74258&postcount=10) نجد أن:

\sqrt{(x+y)(x+z)} \ge x + \sqrt{yz}

الآن لدينا :

\sum \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \le \sum \frac{x}{2x+\sqrt{yz}}

بوضع a=\frac{\sqrt{yz}}{x},b=\frac{\sqrt{xy}}{z},c=\fra c{\sqrt{xz}}{y} (حاصل ضربهم = 1) تصبح المتاينة على الشكل:

\sum \frac{1}{2+a} \le 1

وحيث أنها صحيحة لأنها تكافئ ab + bc + ac \ge 3 .

فكرة استعمال Huygens inequality ممتازة ولم تخطر لي على بال .

يمكن الوصول إلى نفس النتيجة باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي-الهندسي

\sqrt {\left( {x + y} \right)(x + z)} = \sqrt {{x^2} + \left( {xz + yx} \right) + yz} \ge \sqrt {{x^2} + 2x\sqrt {yz} + yz} = x + \sqrt {yz}

برافو مرة أخرى .

[omar]

الحل الذي لدي لايختلف في بدايته على فكرة الأخ mathson

ودائما باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي-الهندسي لدينا :

\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} = \sqrt {\left( {{x^2} + yz} \right) + xz + yx} \ge \sqrt {2x\sqrt {yz} + xz + yx} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {xz} + \sqrt {yx} } \right)}^2}} = \sqrt {xz} + \sqrt {yx}

إذن :

{x \over {x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le {x \over {x + \sqrt {xz} + \sqrt {yx} }} = {{\sqrt x } \over {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}

وبالتالي :

\sum\limits_{cyc} {{x \over {x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le \sum\limits_{cyc} {{{\sqrt x } \over {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}} } = 1