معادلة دالية من اولمبياد المغرب

[ياسين]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

معادلة دالية من اولمبياد المغرب بتاريخ 10 ابريل 2009 الخاص بالتانية علوم رياضية ، الفرض التاني

حدد جميع الدوال المعرفة من \mathbb R نحو \mathbb R و التي تحقق لكل x و y من \mathbb R :

f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y

[mathson]

لم أتوصل إلى شيء حتى الآن !

[ياسين]

السلام عليكم

اكتر منك ، :d يوم الاولمبياد لم اعرف حتى من اين ابدئها

لكن لاحضت ان هناك دالة تحقق الشرط لكني نسيت ان مقابلها يحقق الشرط ايضا :d

لقد توصلت بالحل من احد المفتشين لمادة الرياضيات ، لكن افضل عدم ادراجه حتى لا افسد عليك متعة حلها :d

[mourad24000]

السلام عليكم و رحمة الله
هذه المعادلة الدالية تبدو صعبة نوعا ما....
لكن هذه بعض الملاحظات على الدالة
1/ لاحظ أنه من أجل x=0 فإن f(f(y))=y+{(f(0))}^{2} من أجل كل y\in \mathbb{R}
مما يبين أن الدالة المركبة fof خطية (تآلفية) و تقابلية من \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} مما يمكن أن نستنتج أن الدالة f هي أيضا خطية و تقابلية من \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.
2/ إثبات أن الدالة f فردية؟ ثم استنتج أن f(0)=0 ؟
في الأخير سوف نتوصل إلى أن الدوال التي تحقق الشروط السابقة هي الدوال المطابقة (Identité)
أرجو أن أكون قد أفدتكم
تحياتنا الخالصة

[ياسين]

السلام عليكم

شكرا لك اخي مراد على الارشادات

لكن اتبات ان f(0)=0 صعب نوعا ما ، ارجو منك ان تضع خطوات و ايضا اتبات ان f دالة فردية

الدوال التي تحقق الشروط هي f(x)=x و f(x)=-x

[mathson]

السلام عليكم و رحمة الله
هذه المعادلة الدالية تبدو صعبة نوعا ما....
لكن هذه بعض الملاحظات على الدالة
1/ لاحظ أنه من أجل x=0 فإن f(f(y))=y+{(f(0))}^{2} من أجل كل y\in \mathbb{r}
مما يبين أن الدالة المركبة fof خطية (تآلفية) و تقابلية من \mathbb{r}\rightarrow \mathbb{r} مما يمكن أن نستنتج أن الدالة f هي أيضا خطية و تقابلية من \mathbb{r}\rightarrow \mathbb{r}.
2/ إثبات أن الدالة f فردية؟ ثم استنتج أن f(0)=0 ؟
في الأخير سوف نتوصل إلى أن الدوال التي تحقق الشروط السابقة هي الدوال المطابقة (identité)
أرجو أن أكون قد أفدتكم
تحياتنا الخالصة



ما معنى تآلفية، المطابقة، تقابلية ؟؟

[jockereda]

تآلفية = معادلتها تكتب على شكل (ax+b=f(x
الدوال المطابقة = صورة كل عنصر بالدالة هي ذلك العنصر (x=f(x
تقابلية = f تقابلي من E نحو F إذا و فقط إذا كان كل عنصر من F يقبل سابقا وحيدا في E .