المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : متفاوتة جميلة من اولمبياد امريكا


ياسين
12-04-2009, 04:04 AM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

متفاوتة من United States of America Mathematical Olympiad لسنة 2003

x و y و z اعداد حقيقية موجبة قطعا ، بين ان :

\frac{(2x+y+z)^2}{2x^2+(y+z)^2 }+ \frac{(2y+z+x)^2}{2y^2+(z+x)^2 }+\frac{(2z+x+y)^2}{2z^2+(x+y)^2 }\le 8

mathson
12-04-2009, 04:40 PM
بالفعل رائعة و صعبة، وقد أخذت الكثير من الوقت :t:

لاحظ أن

\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq\frac{4}{3}\cdo t\frac{4a+b+c}{a+b+c}

وذلك لأنها تكافئ

(2a-b-c)^2(5a+b+c)\geq0.

بالتالي:

\sum_{cyc}\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq\sum_ {cyc}\left(\frac{4}{3}\cdot\frac{4a+b+c}{a+b+c}\ri ght)=8.

ياسين
12-04-2009, 06:30 PM
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

شكرا لك اخي mathson على الحل الجميل ،

هل يوجد برهان اخر للمتفاوتة التي طرحتها اخي mathson باستعمال احد المبرهنات ؟