ألمبياد الرياضيات في دول الخليج العربي 2008

[mathson]

حاولت ترجمة المسائل، سأضع بالمسائل بالتقسيط :d.
طبعا هذه مسابقة، يمنع فيها الآلات الحاسبة و كذلك برامج رسم الدوال، لذلك أرجو أن يكون الحل من غير هذه الأشياء.

اليوم الأول:

1-
ليكن لدينا برميل، بحيث لا يرى ما بداخله، يحتوي على 2008 كرة حمراء، 2009 كرة برتقالية، 2010 كرة صفراء، 2011 كرة خضراء و 2012 كرة زرقاء.
ما هو أقل عدد من الكرات يتم سحبها لكي تضمن أنه لديك على الأقل:
أ- أربع كرات من نفس اللون.
ب- أربع كرات مختلفة في اللون.

2-
ليكن S = \{(x,y):|x|-|y| \le 1 , |y|\le 1\} أوجد مساحة S.

3-
تحويل سلسلة من الأرقام يكون بتبديل مكان رقمين فيها، فمثلا (1, 5, 3, 4, 2, 6, 7) هو تبديل لـ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). إذا كان :
(0, 0, 1, 1, 0, 1, 1) ،
(0, 0, 1, 1, 1, 1, 0) ،
(1, 0, 1, 0, 1, 1, 0) ،
(1, 1, 0, 1, 0, 1, 0)،
كلها تبديلات للسلسلة X، أوجد السلسلة X مبينا خطواتك.

نكمل لاحقا.

[mathson]

4-
في المثلث ABC، نفرض أن X تقع على BC،
أ) افترض أن الزاوية BAC قائمة، X نقطة منتصف BC، وقياس الزاوية BAX ثلث قياس الزاوية BAC، برهن أن المثلث ACX متطابق الأضلاع.
ب) افترض أن الزاوية BAC قياسها 60، X تقسم BC بنسبة 3:1 (لم يكتب من أي جهة)، حيث AX منصف للزاوية BAC، برهن أن المثلث ABC قائم.

5-
n من الأرقام (الأرقام هنا تعني من 0 حتى 9)، ليس هناك صفرا بينها، تم توليدها عشوائا، احسب احتمال أن يكون حاصل ضربها يقبل القسمة على 10.

6- لنفرض أن f(n) = \sqrt{2n + 3 + 2\sqrt{2n^2 + 3n + 2}} لأي عدد صحيح غير سالب n، ولنفرض أن g(n) = \sum_{i=0}^n \frac 1{f(i)}، أوجد الصيغة المغلقة لـ g(n).

[mourad24000]

2-
ليكن S = \{(x,y):|x|-|y| \le 1 , |y|\le 1\} أوجد مساحة S.
هده المسألة هي من مسائل
The William Lowell Putnam
Mathematical Competition
لسنة 1988 و الجواب النهائي = 6

[عباس]

4 كرات