مسابقة رياضيات

[zawch123]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

أنا عضو جديد بمنتداكم الرائع الذي أرجوا أن أجد فيه ضالتي مثل بعض المنتديات الرائعة الأخرى و هو التعلم من أساتذتنا الكبار

هذان سؤالان إجتزتهما في مسابقة رياضيات بالجزائر (مستوى أولى ثانوي) و أرجوا مساعدتي بالحل و سأكون ممنونا لكم...
أحسب العدد الصحيح س الذي يحقق العلاقة:

x + \sqrt{x+2} + \sqrt{1 + \sqrt {x+2}} = 4038

س+ جذر (س+2)+ جذر(1+جذر(س+2))=4038 (وجدت الناتج 3967 لكني غير متأكد من الطريقة)

سؤال آخر:

x \in \mathbb{R} ، حيث 0 < x < \frac {\pi}{2}
x عدد حقيقي أكبر تماما من الصفر و أصغر من Pi/2

أثبت أن: \sin x \le x \le \tan x

x أكبر أو تساوي sin x و أصغر أو تساوي Tg x

آسف على المستوى الرديئ لطرح الأسئلة
أرجوا تقديم رأيكم حول مستوى الأسئلة و شــكرا

[mathson]

هذه أول مشاركة لك، بارك الله فيك،

نود استمرارك، حاليا إنه وقت متأخر من الليل عندنا،

لذا سأحاول بها لاحقا.

[mathson]

أعتقد أن الثانية موجودة في :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3728

[zawch123]

شكـــــــــــــرا جزيلا لك أستاذي ماث سن

يوما بعد يوم يزداد إعجابي بك

بارك الله فيك

[mathson]

لم لا تضع فكرتك للسؤال الأول؟
على كل لدي فكرة جيدة، وسأضع تلميحا لها،
ما رأيك لو قمنا بحصر قيم \sqrt{1 + \sqrt{x+2}}؟

[zawch123]

لا بأس سأضع فكرتي التي حللت بها المعادلة مع أني لست متأكدا من صحتها
أرجوا أن تضع أنت فكرتك
بالنسبة للسؤال الأول فقد فهمت الحل لكن في المستوى 1 ثانوي في الجزائر لا ندرس الإشتقاق
و شكــرا

[zawch123]

فكرتي بسيطة و هي إضافة 2 للطرفين و نضع: جذر(س+2)=أ
فتصبح المعادلة:
أ²+أ+جذر(أ+1)=4040
نحللها إلى جداء عاملين:
(جذر(أ+1))(أ(جذر(أ+1))+1)=4040
من الواضح أن القيم السالبة مرفوضة و منه العوامل طبيعية
و نرفض كل الحالات لأنها تؤدي لقيم مختلفة ل أ إلا حالة واحدة التي فيها:
جذر(أ+1)=8 و أ(جذر(أ+1))+1=505 فنجد أ=63 و س=3967
هل تعتبر الطريقة مقبولة أم لا

[mathson]

فكرتك رائعة بالفعل، ها هي فكرتي:


الخطوة (1):

لو فرضنا أن x\le 3000 فإن:

x + \sqrt{x + 2} + \sqrt{1 + \sqrt{x+2}} \le 3000 + \sqrt{3000+2} + \sqrt{1 + \sqrt{3000 + 2}} <3000 + 60 + 8 = 3068 <4038

وهنا تناقض، أي أن x>3000، نستنتج أن:

x>3000 \Rightarrow x + 2 > 3002 \Rightarrow \sqrt{x+2}> 50 \Rightarrow \sqrt{x+2}+1 > 51 \Rightarrow \sqrt{1+\sqrt{x+2}}\ge 8

الخطوة (2):

واضح أن x < 4038، بالتالي:

x+2 < 4040 \Rightarrow \sqrt{x+2} < 65 \Rightarrow \sqrt{1 + \sqrt{x+2}} <9

من الخطوة (1) ، الخطوة (2) نجد أن:

\sqrt{1+\sqrt{x+2}} = 8 \Rightarrow x=3967.

وهو المطلوب.

(سأحاول حل الثانية بدون اشتقاق).

[zawch123]

الله عليك...........
إبداع رهيب....
بارك الله فيك
في إنتظار الثانية

[mathson]

إليك حل الثانية بدون اشتقاق.

http://www.arabruss.com/uploaded/16781/1240244500.gif


نرسم دائرة نصف قطرها 1، AC \perp BO، BA \perp OA، نفرض أن \angle O = x.

الآن:
\sin x = CD , \cos x = OD, \tan x = AB

(1 مساحة المثلث OAC تحسب كالتالي:
\frac 12 OA \times CD = \frac 12 \sin x

2) مساحة المثلث OAB تحسب كالتالي:
\frac 12 OA \times AB = \frac 12 \tan x

3) مساحة القطاع OAC تحسب كالتالي:
\frac 12 x

من (1) ، (2) ، (3) و من مطالعة الرسم نجد:
\frac 12 \sin x < \frac 12 x < \frac 12 \tan x

ومنه ينتج المطلوب.

[Amel2005]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

إليك حل الثانية بدون اشتقاق.

http://www.arabruss.com/uploaded/16781/1240244500.gif


نرسم دائرة نصف قطرها 1، AC \perp BO، BA \perp OA، نفرض أن \angle O = x.

الآن:
\sin x = CD , \cos x = OD, \tan x = AB

(1 مساحة المثلث OAC تحسب كالتالي:
\frac 12 OA \times CD = \frac 12 \sin x

2) مساحة المثلث OAB تحسب كالتالي:
\frac 12 OA \times AB = \frac 12 \tan x

3) مساحة القطاع OAC تحسب كالتالي:
\frac 12 x

من (1) ، (2) ، (3) و من مطالعة الرسم نجد:
\frac 12 \sin x < \frac 12 x < \frac 12 \tan x

ومنه ينتج المطلوب.

ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله
صدق من سماك (الابن العبقري) للرياضيات
(mathson)
علامة مسجلة لمنتديات الرياضيات العربية :t:
بورك فكرك .... ،

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته



ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله
صدق من سماك (الابن العبقري) للرياضيات
(mathson)
علامة مسجلة لمنتديات الرياضيات العربية :t:
بورك فكرك .... ،

لا أعتقد أنني أستحق هذا الإطراء

فعلمي هو من عند الله.

وكلنا هنا لنشارك.

[zawch123]

الحل رائع بالفعل...... الله يبارك.....

ما شاء الله....

[Amel2005]

لا أعتقد أنني أستحق هذا الإطراء

فعلمي هو من عند الله.

وكلنا هنا لنشارك.


:t:
حفظك الله
(mathson)
وأكثر الله من أمثالك
دمتَ بخير .... ،