اثبت أن .... أعداد صحيحة

[romanof]

منتدى واضح أنه نشيط أرجو أن أكون عضوا فعالا فيه
و أول مشاركة لي هي سؤال
http://up.x333x.com/uploads/7759b13087.gif (http://up.x333x.com)


عفوا لم أستطع أن أجد زر الكتابة باللاتكس
بالتوفيق

[mathson]

المسائل كلها لها نفس الفكرة وهي استخدام دالة ليجندر (Legendre’s Function) لكني وصلت إلى نقطة توقفت عندها:

http://www.arabruss.com/uploaded/16781/1241274748.gif

[romanof]

أول مرة أسمع عن دالة Legendre’s Function
ولكن على اي حال خطرت على بالي فكرة و أظن اني قربت من الحل سارد عليك
غدا ولكن أنظر

http://www8.0zz0.com/2009/05/02/21/147687090.gif

بقي حساب الفروق ومن ثم الحصول على اللوغاريتمات الموجبة
وتحويلها الى ضرب
ما رأيك ؟

[romanof]

جربت طريقة اخرى طبعا هنا أوردت حل المسألة الاولى
اريد رأيكم بها
http://www.up-00.com/dldcyr09267.rar.html
موفقين على اي حال

[mathson]

جربت طريقة اخرى طبعا هنا أوردت حل المسألة الاولى
اريد رأيكم بها
http://www.up-00.com/dldcyr09267.rar.html
موفقين على اي حال

بصراحة، لا أنكر براعتك في تعاملك مع هذه المسألة، بالفعل قد أبهرتني.
فكما يقولون، لقد خرجت من الصندوق.

لكنك أغفلت عن شيء مهم جدا، أنت أثبت أن (2m)!(2n)! \g [(m+n)!]^2 ولكن الآن هل:
\frac{(4m)!(4n)!}{(m!)^2 (n!)^2 (2m)!(2n)!} \in \mathbb{Z}
تعني أن الصيغة المطلوبة عدد صحيح ؟ الإجابة تأتي بالنفي وذلك لأن عملية القسمة تعتمد على القواسم و ليس على المقارنة بين الأرقام.
كمثال نفرض أن 2n < m+n، ونفرض 2n<p<m+n, p||2m نجد أن p|| (2m)!(2n)! بينما p^2 || [(m+n)!]^2 .

والله أعلم.

[romanof]

بصراحة، لا أنكر براعتك في تعاملك مع هذه المسألة، بالفعل قد أبهرتني.
فكما يقولون، لقد خرجت من الصندوق.

شهادة أعتز بها يا أستاذي ...
أذا لابد من تجريب طريقة اللوغاريتم
و الا فلا محالة من أستخدام Legendre’s Function
وارجو أن توضح لنا كيف نفعل ذلك

[mathson]

المسائل كلها لها نفس الفكرة وهي استخدام دالة ليجندر (Legendre’s Function) لكني وصلت إلى نقطة توقفت عندها:

http://www.arabruss.com/uploaded/16781/1241274748.gif

نكمل على ما بدأناه،

العبارة الأخيرة صحيحة بسبب النظرية :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lfloor&space;4x&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;4y&space;\rfloor&space; \ge&space;2\left(&space;\lfloor&space;x&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;y&space;\rfloor&space; &plus;&space;\lfloor&space;x&space;&plus;&space;y&space;\rfloor&space;\right&space;)

ولبرهان هذه النظرية الأخيرة نجد:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align}&space;RHS&space;-&space;LHS&space;&=&space;4\lfloor&space;x&space;\rfloor&space;&plus;&space;4\lfloor&space;y&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloo r&space;4\{x\}&space;\rfloor&space;&plus;&space;\lfloor&space;\{y\}\rfloor&space;-&space;2\left(&space;2\lfloor&space;x&space;\rfloor&space;&plus;&space;2\lfloor&space;y&space;\rfloor&space;&plus; &space;\lfloor&space;\{x\}&space;&plus;&space;\{y\}\rfloor&space;\right)\\&space;&=&space;\lfloor&space;4\{x\}\rfloor&space;&plus;\lfloor&space;4&space;\{y&space;\}&space;\rfl oor&space;-&space;2\lfloor&space;\{x\}&space;&plus;&space;\{y\}\rfloor&space;\qquad&space;\mathrm{Let} \quad&space;\{x\}&space;\ge&space;\{y\}&space;\\&space;&\ge&space;2\lfloor&space;2\{x\}&space;\rfloor&space;-&space;2\lfloor&space;\{x\}&space;&plus;&space;\{y\}\rfloor\\&space;&\ge&space;2\lfloor&space;\{x\}&space;&plus;&space;\{y\}&space;\rfloor&space;-&space;2\lfloor&space;\{x\}&space;&plus;&space;\{y\}\rfloor&space;=&space;0&space;\end{align }

وتنتهي المسألة (البقية تحل بنفس الطريقة).
أما إن كنت لا تعرف طريقة ليجندر فتجد لها شرحا في الكتاب:
http://www.arabruss.com/uploaded/16781/1241688069.pdf
سعدنا بمسألتك، وننتظر مشاركاتك.

[romanof]

شكرا لك اخي mathson
اليك كتاب من نفس العينة
Problems in
Algebraic Number Theory

http://www.arabteam2000-forum.com/index.php?act=attach&type=post&id=86321
أرجو أن ينال اعجابكم استاذي