سؤال جميل وسهل :)

[waelalghamdi]

السلام عليكم

في نص المذاكرة للامتحان، ألفت هذا السؤال الجميل :

نعلم أنه لكل k \le 0 سيكون

\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}


ولكن هل يمكن أن تتحقق المساواة عندما k \ge 1 وكذلك n \neq m ؟

فكّر :doh:

[mathson]

الجواب: نعم.

ضع http://latex.codecogs.com/gif.latex?k&space;>&space;\max&space;\{m&space;,&space;n\} نجد أن :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{k}&space;=&space;\binom{n}{k}&space;=&space;0

ملاحظة، ماذا يمكن أن يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{-1}

؟

[waelalghamdi]

الجواب: نعم.

ضع http://latex.codecogs.com/gif.latex?k&space;>&space;\max&space;\{m&space;,&space;n\} نجد أن :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{k}&space;=&space;\binom{n}{k}&space;=&space;0

ملاحظة، ماذا يمكن أن يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{-1}

؟

عذرًا ، k < m,n

....

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{-1}= 0

[mathson]

لنفرض ان m>n بالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{k}&space;=&space;\binom{n}{k}&space;\Leftrightar row&space;m(m-1)\cdots(m-k&plus;1)&space;=&space;n(n-1)\cdots(n-k&plus;1)

ولكن الطرف الأيسر أكبر من الطرف الأيمن حدا بحد، فيظهر التناقض، بالتالي الجواب: مستحيل.

والله أعلم.

[waelalghamdi]

فكر مرة أخرى :)

[BadrGhamdi]

وائل ..
انا والله مالي في مبدأ العد .. يعني أعرف شويييي :D
لكن حاولت اني احقق مساواة المقدار
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{k}&space;=&space;\binom{n}{k}&space;\Leftrightar row&space;m(m-1)\cdots(m-k&plus;1)&space;=&space;n(n-1)\cdots(n-k&plus;1)

في حالة m>n
بعد الاختصارات .. طلع لي
m...(m-k+1)=1
ما أدري كيف تجي هذي .. بس هذا الي طلع معي :D
شكرا على السؤال يا برنس

[BadrGhamdi]

دقيقة دقيقة يا وائل
اتوقع تنفع لو كان
m=1
k=1
n=0

وما أتوقع ان فيه حالات أخرى

ان شاء الله اني جبت راسها :D

[mathson]

دقيقة دقيقة يا وائل
اتوقع تنفع لو كان
m=1
k=1
n=0

وما أتوقع ان فيه حالات أخرى

ان شاء الله اني جبت راسها :d

يعجبني إصرارك أخي ولكن الأرقام لا تحقق الشرط:



عذرًا ، k < m,n

....

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{m}{-1}= 0

بصراحة، أظن أن هناك حلقة مفقودة، فحسب حساباتي، لا يوجد أي تساوي، ولا أعرف أين الخلل.

[BadrGhamdi]

شكراً لك على الإطراء

وفعلا مثل ما قلت .. ما تحقق الشرط الي حطه وائل بعدين
ياللله خيرها بغيرها .. :d

[waelalghamdi]

حلو النقاش بدر وحسين :t:

خلونا نوسع دائرة النقاش ونقطع الشك باليقين :

إذا كانت n,k أعداد حقيقية ، فما قيمة المقدار
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{n}{k} ؟

أو لنأخذ هذا السؤال المباشر :

ما قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{n}{k} في حالة k عدد صحيح موجب ، و n عدد حقيقي سالب؟

[BadrGhamdi]

غير معرفة .. حسب معلوماتي

لان لا يمكن أخذ factorial لـ عدد سالب ..
وائل مثل ما قلت قبل .. معلوماتي ضئيلة .. ولكن فيه دالة غاما .. تتيح أخذ الـ factorial لأي عدد حقيقي غير سالب
لا يكوني شطحت بعيد ؟ :D

[mathson]

حلو النقاش بدر وحسين :t:

خلونا نوسع دائرة النقاش ونقطع الشك باليقين :

إذا كانت n,k أعداد حقيقية ، فما قيمة المقدار
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{n}{k} ؟

أو لنأخذ هذا السؤال المباشر :

ما قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\binom{n}{k} في حالة k عدد صحيح موجب ، و n عدد حقيقي سالب؟

حتى الآن لم أجد جوابا في الموسوعات أيضا، ولكنه بالفعل سؤال محير !

[waelalghamdi]

غير معرفة .. حسب معلوماتي

لان لا يمكن أخذ factorial لـ عدد سالب ..
وائل مثل ما قلت قبل .. معلوماتي ضئيلة .. ولكن فيه دالة غاما .. تتيح أخذ الـ factorial لأي عدد حقيقي غير سالب
لا يكوني شطحت بعيد ؟ :D

لا إنت شطحت بعيد أوي :)

الموضوع في حدود الـ Binomial Theorem وما يطلع برا :)

[waelalghamdi]

حتى الآن لم أجد جوابا في الموسوعات أيضا، ولكنه بالفعل سؤال محير !

طيب جربت تقرأ عن
extending the domain of definition of the binomial coefficient to real numbers
؟

لو استطعت ، اقرأ Introductory Combinatorics للكاتب Brualdi وممكن تلاقي كتب غيره ...

[BadrGhamdi]

أنا راح أكون متابع للنقاش
لان أبداً مالي في هذي الأمور
لكن أحس هذي الخاصية لها علاقة :D :
http://upload.wikimedia.org/math/8/d/7/8d777c2fcd98f1f556793549d4400b5b.png