حل فيr²

[zouhirkas]

حل فيR²

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0897519001242213253.png

[mathson]

حل فيR²

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0897519001242213253.png

أعتقد أنها سهلة، عند n عدد زوجي نجد حالتان
\cos x = \sin x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} + \pi \frac{
\cos x = - \sin x \Rightarrow x = \frac{3pi}{4}, \frac{3\pi}{4} + \pi

في حالة n عدد فردي نجد أن هناك حالة وحيدة:
\cos x = \sin x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} + \pi

طبعا، الحلول الغير حقيقية مرفوضة.

أعتقد أنك تقصد هذه المسألة:
http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=466

[zouhirkas]

لا ليست هي
ففي هده المعادلة يجب فصل الحالات

[zouhirkas]

si n = 1 on a cosx-sinx = 1 soit cos(x+/4)=cos(/4) soit x=2k ou x = -/2+2k (k décrivant Z)
si n= 2 on a cos2x-sin2x = 1 et cos2x+sin2x = 1 ce qui donne cosx= 1 ou -1 et sinx = 0, soit x =kp.
Pour n >=3
On va utiliser le résultat suivant si 0 < x < 1alors xn+1 < xn.
Supposons 0 < |cosx| < 1 ; on a donc aussi 0 < |sinx| <1 et |cosx|n < |cosx|2, |sinx|n < |sinx|2.
Mais pour tout réel u on a u <= |u| et -u <=|u| d'où :
cosnx-sinnx <= | cosnx|+|sinnx| = |cosx|n+|sinx|n < | cosx|2+|sinx|2
Enfin | cosx|2+|sinx|2 = cos2x+sin2x = 1 et cosnx-sinnx < 1 : l'équation proposée n'a donc pas de solutions.
Pour n >=3 l'équation ne peut admettre des solutions que si |cosx| = 0 ou 1 : regardons s'il y a alors effectivement des solutions.
Si cosx = 0 alors sinx = 1 ou -1 : si sinx = 1 il faut donc que -(1)n=1 ce qui est impossible et si sinx = -1 il faut -(-1)n=1 qui n'est possible que si n est impair.
Si cosx = 1 alors sinx = 0 et l'équation est effectivement vérifiée pour tout n
Si cosx = -1 alors sinx = 0 et l'équation s'écrit (-1)n=1 et elle n'est vérifiée que si n est pair
Finalement il y a 3 sortes de solutions
n est impair et cosx=0, sinx = -1 soit x = -/2 + 2k
n pair et cosx = -1 et sinx =0 soit x =  + 2k
n quelconque et cosx = 1 et sinx = 0 soit x =2k
Donc pour n >= 3 les solutions de l'équation proposée sont
si n pair : x = k et si n impair x =2k ou x = -/2 + 2k ( en fait on peut vérifier, voir plus haut, que c'est vrai aussi pour n =1 et n = 2)


و هدا يخالف تماما ما قلته يا صديق

[mathson]

si n = 1 on a cosx-sinx = 1 soit cos(x+/4)=cos(/4) soit x=2k ou x = -/2+2k (k décrivant z)
si n= 2 on a cos2x-sin2x = 1 et cos2x+sin2x = 1 ce qui donne cosx= 1 ou -1 et sinx = 0, soit x =kp.
Pour n >=3
on va utiliser le résultat suivant si 0 < x < 1alors xn+1 < xn.
Supposons 0 < |cosx| < 1 ; on a donc aussi 0 < |sinx| <1 et |cosx|n < |cosx|2, |sinx|n < |sinx|2.
Mais pour tout réel u on a u <= |u| et -u <=|u| d'où :
Cosnx-sinnx <= | cosnx|+|sinnx| = |cosx|n+|sinx|n < | cosx|2+|sinx|2
enfin | cosx|2+|sinx|2 = cos2x+sin2x = 1 et cosnx-sinnx < 1 : L'équation proposée n'a donc pas de solutions.
Pour n >=3 l'équation ne peut admettre des solutions que si |cosx| = 0 ou 1 : Regardons s'il y a alors effectivement des solutions.
Si cosx = 0 alors sinx = 1 ou -1 : Si sinx = 1 il faut donc que -(1)n=1 ce qui est impossible et si sinx = -1 il faut -(-1)n=1 qui n'est possible que si n est impair.
Si cosx = 1 alors sinx = 0 et l'équation est effectivement vérifiée pour tout n
si cosx = -1 alors sinx = 0 et l'équation s'écrit (-1)n=1 et elle n'est vérifiée que si n est pair
finalement il y a 3 sortes de solutions
n est impair et cosx=0, sinx = -1 soit x = -/2 + 2k
n pair et cosx = -1 et sinx =0 soit x =  + 2k
n quelconque et cosx = 1 et sinx = 0 soit x =2k
donc pour n >= 3 les solutions de l'équation proposée sont
si n pair : X = k et si n impair x =2k ou x = -/2 + 2k ( en fait on peut vérifier, voir plus haut, que c'est vrai aussi pour n =1 et n = 2)


و هدا يخالف تماما ما قلته يا صديق

1- كما قلت سابقا: نحن لا نفهم الفرنسية.
2- الرموز غير واضحة.
3- ألا ترى أن الحل لمسألة أخرى ؟ (وضعت الصفر مكان الواحد).
4- لا يعجبني النقل المباشر (النقل الحرفي).

وفقنا الله و إياكم.

[zouhirkas]

الخطأ مني

[mathson]

الخطأ مني

أخي، الكل يخطئ، لكن الأفضل هو من يصلح الخطأ و لا يلجأ إليه.