لتكن a,b,c.....

[zouhirkas]

لتكن a,b,c من Q
بحيث : ab+ac+bc=1
بين أن :http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0116282001242316444.png

[mathson]

لاحظ أن:
a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) = (a+b+c)^2 - 2

وكذلك يمكن استنتاج أن:

(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 = (ab + bc + ac)^2 - 2(a^2bc + ab^2c + abc^2) = 1 - 2(a^2bc + ab^c + abc^2)

الآن:

(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\\ = 1 + (a^2 + b^2 + c^2) + [(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2] + a^2b^2c^2\\ = (a+b+c)^2 - 2(a^2bc + ab^2c + abc^2) + a^2b^2c^2\\ = [abc - (a+b+c)]^2

[فارس السنة]

حل راقي.. أحسنت.