حدد قيم n

[zouhirkas]

حدد جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية من n
بحيث :http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0851022001242336527.png عدد أولي.

[mathson]

حدد جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية من n
بحيث :http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0851022001242336527.png عددان أوليان.

واضح أن 4n^2(n^2+1) لا يمكن أن يكون عدد أولي إلا إذا كان أحد العددين 4n^2, n^2+1 مساويا للواحد الصحيح، وهذا يتحقق فقط عند n=0، وهو لا يحقق المطلوب. بالتالي لا حل.

[Sadiq Al-Ali]

واضح أن 4n^2(n^2+1) لا يمكن أن يكون عدد أولي إلا إذا كان أحد العددين 4n^2, n^2+1 مساويا للواحد الصحيح، وهذا يتحقق فقط عند n=0، وهو لا يحقق المطلوب. بالتالي لا حل.

إضافة بسيطة بعد تعليقك أستاذنا :d
× × ×
4×(ن^2+1)×ن^2

نلاحظ أن المقدار السابق زوجي لجميع قيم ن والسبب في ذلك يعود إلى الـ 4
وبما أن جميع الأعداد الأولية ((عدا الـ 2)) هي فرديه إذا نستنتج أن المقدار يستحيل أن يكون أوليا..

-والله أعلم-

: )

[zouhirkas]

واضح أن 4n^2(n^2+1) لا يمكن أن يكون عدد أولي إلا إذا كان أحد العددين 4n^2, n^2+1 مساويا للواحد الصحيح، وهذا يتحقق فقط عند n=0، وهو لا يحقق المطلوب. بالتالي لا حل.
بوضع n=1
نجد http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0021690001242425925.png
و3أولي

[waelalghamdi]

واضح أن هناك لبس في فهم السؤال ،،، هذي محاولتي للسؤال :

أوجد جميع الأعداد الطبيعية n بحيث يكون (4n^2\cdot(n^2+1),2n+1) عددًا أولياً ...

الجواب : جميع الأعداد الصحيحة n بحيث تحقق n = 5k+2 .

طريقة الحل :

سنستفيد من الخاصيتين التاليتين :

(2n+1,n) = (2n+1-2(n),n) = (1,n) = 1 \Longrightarrow (2n+1,n^2) = 1

(2n+1,n+1) = (2n+1-(n+1),n+1) = (n,n+1) = 1

الآن لدينا :

(4n^2(n^2+1), 2n+1) = (n^2,2n+1) \cdot (n^2+1,2n+1) = 1 \cdot (n^2+1, 2n+1) = (n^2 + 1 + 2(2n+1),2n+1) = ((n+1)(n+3),2n+1) = (n+3,2n+1) = (n+3,2n+1-2(n+3)) = (n+3, -5) = 1 \; or \; 5

ولكن 5 أولي في حين 1 غير أولي ، وواضح أن المقدار الأخير يساوي 5 فقط في حالة n+3 \equiv{0} \pmod5 \Rightarrow n = 5k+2

:)

[waelalghamdi]

ملاحظة: استخدمت خاصيتين أخريتين :

إذا كان (a,b) = 1 فإن (a\cdot b , n) = (a,n) \cdot (b,n) ويمكن التعميم بسهولة لأكثر من عددين

إذا كان (m,n) = 1 فإن (m \cdot a , n) = (a,n)
:)

[mathson]

بالفعل حدث لبس في فهم السؤال، حيث أننا نعلم أن
http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0522529001242462234.png

تعني "و" وهي علامة ربط في علم المنطق، بينما كان القصد منها \gcd.

[zouhirkas]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0006929001242490509.png
لا أقصد به" و" بل أ قصد به القاسم المشترك الأكبر

[Sadiq Al-Ali]

اتضحت الصورة :d ،، شكرا لكما أستاذ وائل & zouhirkas

ما جعلني أتصور أن الـ ^ مقصود بها "و" هو تتمة السؤال :h:

أعني: عددان أوليان

كان من المفترض أن تكون عددا أوليا فقط :d

شكرا لكما مرة أخرى على التوضيح :t:

[mathson]

اتضحت الصورة :d ،، شكرا لكما أستاذ وائل & zouhirkas

ما جعلني أتصور أن الـ ^ مقصود بها "و" هو تتمة السؤال :h:

أعني: عددان أوليان

كان من المفترض أن تكون عددا أوليا فقط :d

شكرا لكما مرة أخرى على التوضيح :t:

سامحني الخطأ مني، لأنه لم يكتب صاحب المسألة المطلوب، ومن ثم كتب المطلوب لاحقا، فظننت أن هذا هو المطلوب.

[Sadiq Al-Ali]

سامحني الخطأ مني، لأنه لم يكتب صاحب المسألة المطلوب، ومن ثم كتب المطلوب لاحقا، فظننت أن هذا هو المطلوب.



ماث.صن ،، راجع اقتباس مشاركتك رقم (( 2 )) لترى أن المطلوب في المسألة قبل التعديل كان هو ايجاد قيم ن بحيث تجعل المقدارين المعطيين عددان أوليان، لا كما قلت أن المطلوب لم يكتب،، أعني أن المسألة في البداية لم تتطرق بأن المقدار المعطى يمثل عددا أوليا واحد !!!

وشكرا لك مرة أخرى..

[mathson]

ماث.صن ،، راجع اقتباس مشاركتك رقم (( 2 )) لترى أن المطلوب في المسألة قبل التعديل كان هو ايجاد قيم ن بحيث تجعل المقدارين المعطيين عددان أوليان، لا كما قلت أن المطلوب لم يكتب،، أعني أن المسألة في البداية لم تتطرق بأن المقدار المعطى يمثل عددا أوليا واحد !!!

وشكرا لك مرة أخرى..

مثل ما يقولون، يحق للمشرف مل لا يحق لغيره :d

لقد كتب صاحب المسألة المطلوب :
بحيث تكون العبارة =عددأولي
فحذفت المشاركة وكتبتها مباشرة (والمحذوف لا يظهر لك!)، وطبعا اعتقدت أنه يقصد عددان أوليان و أن هذا خطأ مطبعي.

[Sadiq Al-Ali]

مثل ما يقولون، يحق للمشرف مل لا يحق لغيره :d

لقد كتب صاحب المسألة المطلوب :

فحذفت المشاركة وكتبتها مباشرة (والمحذوف لا يظهر لك!)، وطبعا اعتقدت أنه يقصد عددان أوليان و أن هذا خطأ مطبعي.

شكرا مشرفنا ماث.صن :d
عموما حصل خير وجلّ الذي لا يسهو :)

:wave: