حدد باقي القسمة الأقليدية........

[zouhirkas]

حدد حسب قيم العدد الصحيح الطبيعي n باقي القسمة الإقليدية ل http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0647521001242337328.pngعلى http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0444404001242337385.png

[waelalghamdi]

محاولة بسيطة :

نريد أن نوجد العدد الصحيح r بحيث 0 \le r \le 6 بحيث يحقق :

751^{3n} + 851^{2n} + 851^n + 2 \equiv{r} \pmod7

الجواب :

r = 5 \;\; if \;\; 3 \mid n
r = 2 \;\; if \;\; 3 \dag n

طريقة الحل : ضع N = 751^{3n} + 851^{2n} + 851^n + 2 الآن لدينا

N=751^{3n} + 851^{2n} + 851^n + 2 \equiv 2^{3n} + 4^{2n} + 4^n + 2 \equiv 8^n + 16^n + 4^n + 2 \equiv 1^n + 2^n + 4^n + 2 \equiv 4^n + 2^n + 3 \pmod7

الآن ضع x = 2^n ليصبح لدينا :

N = 4^n + 2^n + 3 = x^2 + x + 3

ولكننا نعرف أن

x = 2^n \equiv 1\pmod7 \;\; if \;\; \exist \; k \;\; such \; that \;\; n=3k
x = 2^n \equiv 2 \pmod7 \;\; if \;\; \exist \; k \;\; such \; that \;\; n=3k+1
x = 2^n \equiv 4 \pmod7 \;\; if \;\; \exist \; k \;\; such \; that \;\; n=3k+2

وبالتالي لدينا


N = x^2 + x + 3 \equiv 5 \pmod7 \;\; if \;\; \exist \; k \;\; such \; that \;\; n=3k
N = x^2 + x + 3 \equiv 9 \equiv 2 \pmod7 \;\; if \;\; \exist \; k \;\; such \; that \;\; n=3k+1
N = x^2 + x + 3 \equiv 23 \equiv 2 \pmod7 \;\; if \;\; \exist \; k \;\; such \; that \;\; n=3k+2

وهو ما يمكننا تلخيصه في


N \equiv 5 \pmod7 \;\; if \;\; 3 \mid n
N \equiv 2 \pmod7 \;\; if \;\; 3 \dag n

تحياتي ،،، :)

ملاحظة: استعملت الرمز \dag بدل الرمز المشابه له "لا يقسم" لأن هذا الأخير غير موجود في المنتدى هنا ( أو على الأقل غير موجود على الصيغة \nmid المعروفة )

[zouhirkas]

تحياتي