متفاوتة بمقام من الدرجة الثامنة

[mathson]

إذا كان x,y,z \in \mathbb{R}^+ تحقق xyz=1، برهن أن:

$ \frac{xy}{x^{8}+xy+y^{8}}+\frac{yz}{y^{8}+yz+z^{8} }+\frac{zx}{z^{8}+zx+x^{8}}\leq 1 $

[zouhirkas]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0344144001242570713.png
وبالمثل نجد الأطراف الأخرى
بجمعها وتوحيد المقامات وتبسيط الكتابات بالعلاقة 1=xyz
تحصل على المتفاوتة المطلوبة

إنها متفاوتة جميلة

[Frechet]

(من اليسار إلى اليمين) اضرب الحد الأول بسطا ومقاما في z
ثم الثاني بسطا ومقاما في x
ثم الثالث بسطا ومقاما في y
استخدم xyz=1
ستجد أن البسوط تساوي العدد واحد
والمقامات هي عبارة عن 1+عدد موجب
وتظهر النتيجة

[Frechet]

من خلال برهان الأخ zouhirkas
يتضح أن المتفاوتة متحققة حتى لو استثنينا الشرط xyz=1 (شرط زائد)

[Frechet]

عفوا...
الشرط xyz=1 ليس زائدا حيث أننا سوف نجمع مقادير أقل من الواحد وهذا لايلزم أن يكون المجموع أقل من واحد . أما لو كانت المتفاوتة أقل أو يساوي 3 فإن الشرط xyz=1 سيكون زائد. لابد من توحيد المقامات واستخدام العلاقة xyz=1 كما أشار zouhirkas

[mathson]

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0344144001242570713.png
وبالمثل نجد الأطراف الأخرى
بجمعها وتوحيد المقامات وتبسيط الكتابات بالعلاقة 1=xyz
تحصل على المتفاوتة المطلوبة

إنها متفاوتة جميلة

أعتقد أن المتفاوتة الأخيرة:
\sum_{cyc}\frac{1}{2x^3y^3 + 1} \le 1

غير صحيحة، بوضع x=y=\frac 12, z = 4 .

[zouhirkas]

ألا تجيد الحساب ياصديقي لا تضع تعليقا قبل أن تتحقق

لقد حسبتها و بسطتها قبل الإدراج

[mathson]

ألا تجيد الحساب ياصديقي لا تضع تعليقا قبل أن تتحقق

لقد حسبتها و بسطتها قبل الإدراج

أخي:

1) كنت أرجو أن تعمل أنت بنصيحتك "لا تضع تعليقا قبل أن تتحقق".
2) لدي سؤال: هل أنا الذي لا يعرف أن يحسب أم أنت؟ جرب ما كتبته أنا.
3) هل "لقد حسبتها و بسطتها قبل الإدراج" يعني أنك لم تخطئ وحلك هو الصحيح؟ البشر خطاؤون.

[فارس السنة]

معك حق أخي mathson في أن المتباينة غير صحيحة..
هذه محاولتي وينقصها الجزء الأخير لإثباتها ،، لم أتوصل إلى إثباته بعد:)
أولا نضرب مقام و بسط الأولى ب z^2 و الثانية ب x^2 و الثالثة ب y^2
و نستعمل المعطىxyz=1 لنحصل على :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0217121001242991652.png
و الآن ما نحتاج لإثباته هو أن http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0937152001242991751.png
أي : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0671606001242991850.png
وهنا الخطوة الناقصة ، أي إثبات العلاقة السابقة ، فلو أثبتها سنحصل على:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0937199001242991989.png
سؤالي هو : هل أنا في الطريق الصحيح حتى أحاول إثبات العلاقة أم أنها خطأ فأبحث عن سبيل آخر؟
شكرا للجميع ..

[mathson]

معك حق أخي mathson في أن المتباينة غير صحيحة..
هذه محاولتي وينقصها الجزء الأخير لإثباتها ،، لم أتوصل إلى إثباته بعد:)
أولا نضرب مقام و بسط الأولى ب z^2 و الثانية ب x^2 و الثالثة ب y^2
و نستعمل المعطىxyz=1 لنحصل على :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0217121001242991652.png
و الآن ما نحتاج لإثباته هو أن http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0937152001242991751.png
أي : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0671606001242991850.png
وهنا الخطوة الناقصة ، أي إثبات العلاقة السابقة ، فلو أثبتها سنحصل على:

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0937199001242991989.png
سؤالي هو : هل أنا في الطريق الصحيح حتى أحاول إثبات العلاقة أم أنها خطأ فأبحث عن سبيل آخر؟
شكرا للجميع ..

بارك الله فيك.
المتباينة x^8 + y^8 \ge x^3y^2 + x^2y^3 غير صحيحة لأن x=0.5, y=0.3 لا تحقق المطلوب. :d

[فارس السنة]

شكرا لردك السريع ،، سأجرب طريقة أخرى عسى أن أنجح ..

[mathson]

بصراحة، نسيت الحل :confused:، لكني عثرت على حل آخر أطرحه عليك :rolleyes:.
سأخبرك بتقنية ممتازة و أرجو أن لا تنساها :d .

نظرية: إذا كان a,b\in \mathbb{R}^+, p,q \in \mathbb{Z}^+ فإن (a^p-b^p)(a^q - b^q) \ge 0 (ويمكن تعميمها).
البرهان: لأنهما يحملان نفس الإشارة :d.

الآن لدينا
(x^6-y^6)(x^2-y^2) \ge 0 \Rightarrow x^8 + y^8 \ge x^2y^2(x^4+y^4)

بالمثل:

(x-y)(x^3 - y^3) \ge 0 \Rightarrow x^4 + y^4 \ge xy(x^2 + y^2)

باستخدام المتفاوتتين نجد:

\sum_{cyc} \frac{xy}{x^8 + y^8 + xy} \le \sum_{cyc} \frac{xy}{x^2y^2(x^4 + y^4) + xy}= \sum_{cyc} \frac{z}{x^4 + y^4 + z}\\ \le \sum_{cyc} \frac{z}{xy(x^2+y^2) + z} = \sum_{cyc} \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1

انتهينا :d.

[فارس السنة]

ماذا عساي أقول سوى : يا لها من تقنية رائعة من شخص أروع:clap:!! ،، شكرا لك جزيل الجزاء و لن أنساها إن شاء الله:) ..

[fahd]

شكرا على الحل الرائع زهير لقد تحققت

[Frechet]

Very elegant proof. Thank you mathson